Combinações Simples

Combinações Simples

Introdução

Em permutações, estamos interessados no número de maneiras de como ordenar os elementos de um conjunto de objetos. Em muitos problemas de contagem, a ordem dos elementos não é importante. Por exemplo, em um jogo de baralho, as cartas que estão nas mãos de algum jogador são sempre as mesmas independente de como ela estão dispostas. Logo, nosso interesse é saber o número de possíveis mãos de cinco cartas de 52 cartas existentes no baralho do que a ordem que elas aparecem nas mãos do jogador. Podemos desenvolver a fórmula para contar situações como citada acima.

A combinação de k elementos de um conjunto é qualquer subconjunto de n elementos do conjunto. Se o conjunto tem n elementos, então o número de combinações de k elementos é definido por C(n, k) e é chamado de o número de combinações de n elementos tomados de k a k vezes.

Por exemplo, considere um conjunto com quatro elementos, 1, 2, 3 e 4. A combinação desses quatro elementos tomados três a três vezes são:

A permutação desses elementos tomados três a três são:

Observe que o número de combinações (4) é muito menor que o número de permutações (24). Ou seja, estamos dividindo o número de permutações (24) pelo fatorial do agrupamento de 3 elementos (3! = 6).
Desse modo, podemos escrever a fórmula da combinação simples.

Exemplo

Um clube tem nove membros. De quantos modos diferentes pode ser criada uma comissão composta por três membros dentre os nove membros deste clube?
Solução: Como ser trata de uma comissão, a ordem de escolha dos membros não tem importância. Aplicando a fórmula de combinação simples teremos o resultado apresentado abaixo:


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Exercícios Resolvidos

De quantos modos distintos Lucas pode escolher quatro entre as nove camisetas regata que possui para levar em uma viagem?

Solução em vídeo

Um curso de idiomas oferece turmas para iniciantes em inglês, espanhol, alemão, italiano e japonês.
a) De quantas formas distintas um estudante pode se matricular em três desses cursos?
b) De quantas formas distintas ele poderá se matricular em três desses cursos, incluindo obrigatoriamente o de inglês?

Solução em vídeo

Em um grupo de 6 pessoas, a quantidade de duplas que podem ser formadas é maior, menor ou igual à quantidade de quartetos que podem ser formados?
Compare também a quantidade de duplas com a de trios.

Solução em vídeo

Sobre uma circunferência marcam-se dez pontos.
a) Quantos triângulos podemos construir com vértices em três desses pontos?
b) Quantos pentágonos convexos podemos construir com vértices em cinco desses pontos?
c) Considere o decágono convexo cujos vértices são os pontos assinalados sobre essa circunferência.
Qual é o número de diagonais que esse polígono possui?

Solução em vídeo

Uma junta médica deverá ser formada por quatro médicos e dois enfermeiros. De quantas maneiras ela poderá ser formada se estão disponíveis dez médicos e seis enfermeiros?

Solução em vídeo