Equações Algébricas

Equações Algébricas

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Exercício 1 – Escreva o Polinômio em sua Forma Fatorada
Encontre as raízes de cada polinômio abaixo e, em seguida, escreva-o em sua forma fatorada:
a) x² – 6x + 25
b) 2x² – 5x + 2
c) 2x³ – 4x


Exercício 2 – Represente o Polinômio em Fatores do 1º Grau
Represente o polinômio x³ – 4x² – 11x + 30 em fatores do 1º grau, sabendo que suas raízes são 5, -3 e 2.


Exercício 3 – Fatore o Polinômio
Sabendo que 2 + i, 2 – i e -3 são as raízes da equação x³ – x² -7x + 15 = 0 fatore o polinômio dado em outros dois polinômios com coeficientes reais, um com grau 2 e outro com grau 1.


Exercício 4 – Escreva uma Equação do 2º Grau cujas Raízes
Escreva uma equação do 2º grau cujas raízes sejam:
a) 1 – 2i e 1 + 2i
b) -3 e 5
c) 0 e -1/2


Exercício 5 – Escreva uma Equação do 3º Grau
Escreva uma equação do 3º grau cujas raízes sejam:
a) 3 – i, 3 + i e -2
b) 0, 2 e -5


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Exercício 6 – Resolva em C a Equação de Terceiro Grau
Resolva, em C, a equação x³ + 3x² – 46x + 72 = 0, sabendo que 2 é uma de suas raízes.


Exercício 7 – Resolva em C a Equação
Resolva, em C, a equação 2x³ + 5x² – 2x – 15 = 0, sabendo que 3/2 é uma de suas raízes.


Exercício 8 – Determine o Valor de m
Seja a equação x³ + 2x² + mx – 6 = 0, em que m é uma constante real. Sabendo que -3 é raiz dessa equação, determine:
a) o valor de m;
b) as demais raízes da equação.


Exercício 9 – Qual o Número de Raízes Complexas do Polinômio
O polinômio p = 4×4 – 4x³ – 23x² – x – 6 é divisível por x² – x – 6.
Qual é o número de raízes complexas não reais que p possui?


Exercício 10 – Qual é o Valor da Soma de a + b + c + d
O polinômio p(x) = ax³ + bx² + cx + d tem coeficiente dominante igual a 1 e suas raízes são 7, -5 e -3. Qual é o valor de a + b + c + d?


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Exercício 11 – Resolva em C, Usando Fatoração
Resolva, em C, as equações, usando fatoração:
a) x³ + 2x² – 24x = 0
b) x6 – 2×5 – 3×4 = 0
c) 2x³ – x² + 4x – 2 = 0
d) x³ + x² + x + 1 = 0


Exercício 12 – Quais são as Raízes da Equação
Uma das raízes da equação x4 – x³ – 3x² + 3x = 0 é igual a 1.
Quais são as outras três raízes dessa equação?


Exercício 13 – Quais são as Raízes da Equação
Os números reais -1 e 1 são raízes da equação x4 – 6x³ + 9x² + 6x – 10 = 0.
Quais são as outras duas raízes?


Exercício 14 – Determine as Raízes da Função
Ao lado, está representada parte do gráfico da função polinomial f, de R em R, definida por f(x) = ax³ + bx + c, com a, b e c coeficientes reais.
a) Qual é o número de raízes não reais de f?
b) Obtenha os valores de a, b e c.
c) Resolva a equação f(x) = 0.


Exercício 15 – Determine as Raízes da Função
Parte do gráfico da função polinomial f: R em R, definida por f(x) = x³ + px + q, em que p e q são coeficientes reais, é mostrada abaixo: Determine:
a) os valores de p e q;
b) f(2);
c) a ordenada do ponto A;
d) as raízes da equação f(x) = 0.


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Exercício 16 – Determine as Raízes da Função
A figura a seguir mostra parte do gráfico da função polinomial f: R em R, definida por: f(x) = x³ + px² + qx + r Sabendo que f possui 2 raízes reais opostas, determine:
a) o número de raízes reais de f;
b) as raízes da equação f(x) = 0;
c) os valores de p, q e r.


Exercício 17 – Determine as Raízes da Equação
Resolva, em C, a equação: x4 – 8x³ + 27x² – 70x + 50 = 0 sabendo que duas de suas raízes são 1 + 3i e 1 – 3i.


Exercício 18 – Fatore o Polinômio
Sejam os polinômios: p(x) = x² – 2x – 2 e q(x) = [p(x)]² + 4p(x) – 5
a) Fatore o polinômio y² + 4y – 5.
b) Determine o grau de q(x).
c) Determine todas as raízes da equação q(x) = 0.


Exercício 19 – Determine as Raízes e suas Respectivas Multiplicidades
Seja a equação: x³ (x + 2)4 (x – 1)² (x + 6) = 0, determine:
a) as raízes e suas respectivas multiplicidades
b) seu grau
c) seu conjunto solução


Exercício 20 – Escreva uma Equação Polinomial
As raízes de uma equação polinomial são 4, 2 e 0, com multiplicidades 2, 1 e 1, respectivamente.
a) Qual é o grau do polinômio?
b) Escreva uma equação polinomial que satisfaça tais condições.


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Exercício 21 – Escreva uma Equação Algébrica
Em cada caso, escreva uma equação algébrica que satisfaça as condições:
a) – 3 é raiz dupla e 5 é raiz simples;
b) 2, 3i e – 3i são raízes com multiplicidade 2, 1 e 1, respectivamente.


Exercício 22 – Resolva a Equação Algébrica
Resolva a equação x4 – 3x³ – 13x² + 51x – 36 = 0, sabendo que 3 é raiz dupla.


Exercício 23 – Resolva a Equação Algébrica
Seja a equação 4x³ – 19x² + 28x + m = 0. Determine:
a) m, sabendo que 2 é raiz dupla dessa equação;
b) a outra raiz.


Exercício 24 – Resolva a Equação
Resolva a equação x^5 – 2x^4 – 7x³ – 4x² = 0, sabendo que -1 é raiz dupla.


Exercício 25 – Qual é a Multiplicidade da Raiz 4 na Equação
Qual é a multiplicidade da raiz 4 na equação x^4 – 10x³ + 24x² + 32x – 128 = 0? Qual é a outra raiz?


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Exercício 26 – Determine o Conjunto Solução da Equação
A equação x³ – 75x + 250 = 0 apresenta m (com m E R) como raiz dupla e -2m como raiz simples. Determine o seu conjunto solução.


Exercício 27 – Multiplicidade das Raízes do Polinômio
O polinômio 4x^4 + 12x³ + x² – 12x + 4 é divisível por x² + 4x + 4.
Quais são as raízes desse polinômio e as respectivas multiplicidades?


Exercício 28 – Determine as Multiplicidades das Raízes
Parte do gráfico da função p: R em R definida por: p(x) = x³ + ax² + bx + c com a, b, e c coeficiente reais, está representada a seguir: Sabendo que p(x) é divisível por (x – 3)², determine:
a) os valores de a, b, e c;
b) as raízes da equação p(x) = 0, com as respectivas multiplicidades.


Exercício 29 – Determine as Raízes da Equação
Sejam r1 e r2 as raízes da equação x² – 3x + 6 = 0. Determine:
a) r1 + r2
b) r1 * r2
c) 1/r1 + 1/r2
d) r² + r²
e) (4r1 + 1)*(4r2 + 1)
f) (-7r1 – 7r2)²


Exercício 30 – Determine o valor de m na Equação
A equação -3x² + 2x + m = 0, em que m é uma constante real, admite duas raízes cuja diferença é -1/3.
a) Obtenha as raízes da equação.
b) Determine o valor de m.


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Exercício 31 – Determine os Valores de a e b na Equação Quadrática
A soma e o produto das raízes da equação quadrática 4x² + ax + b = 0 (a, b, E R) são 1/2 e 5/4, respectivamente. Determine:
a) os valores de a e b;
b) as raízes da equação


Exercício 32 – Determine o Valor de p na Equação Quadrática
A equação x² + px + 54 = 0, em que p é um coeficiente real, admite duas raízes, r1 e r2, tais que 2r1 = 3r2.
Qual é o valor de p?


Exercício 33 – Relações de Girard
Dada a equação -x³ – 2x² + 6x – 5 = 0, com raízes r1, r2 e r3, calcule:
a) r1 1 r2 1 r3
b) r1 * r2 + r1 * r3 + r2 * r3
c) r1 * r2 * r3
d) 1/r1 * r2 + 1/r1 * r3 + 1/r2 * r3
e) 1/ r1 + 1/r2 + 1/r3


Exercício 34 – Relações de Girard – Soma das Raízes
Resolva a equação x³ – 9x² + 26x – 24 = 0, sabendo que suas raízes são números inteiros e consecutivos.


Exercício 35 – Relações de Girard – Resolva a Equação
Resolva a equação 2x³ – 13x² + 22x – 8 = 0, sabendo que suas raízes são positivas e uma delas é igual ao produto das outras duas.


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Exercício 36 – Relações de Girard – Determine os Valores Reais de p e q
Os números complexos 3 – 4i e 3 + 4i são raízes da equação x² + px + q = 0. Determine os valores reais de p e q.


Exercício 37 – Relações de Girard – Determine o valor de m
A equação x³ – 3x² + mx + 12 = 0 (m é um coeficiente real) tem duas raízes opostas.
a) Determine o valor de m.
b) Determine seu conjunto solução.
c) Escreva uma equação algébrica do 3º grau cujas raízes sejam r1 + 3, r2 + 3, r3 + 3, sendo r1, r2, e r3 as raízes encontradas no item a.


Exercício 38 – Determine o Valor de m na Equação
As raízes da equação x³ + 21x² + mx – 729 = 0, em que m E R, são, respectivamente, um certo número real, o quadrado desse número e o cubo desse primeiro número.
a) Qual é o valor de m?
b) Quais são as raízes dessa equação?


Exercício 39 – Determine a Soma e o Produto das Raízes
Determine o valor da soma (S) e do produto (P) das raízes de cada equação:
a) (x – 2) * (x + 3) * (x – 1) = 0
b) x4 – 3x³ + 2x – 1 = 0
c) x6 – 4x + 2 = 0
d) x4 + x – 3 = 0


Exercício 40 – Resolva a Equação – Relações de Girard
Resolva a equação x³ – 10x² + 31x – 30 = 0, sabendo que uma raiz é igual à diferença das outras duas.


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Exercício 41 – Relações de Girard – Determine as Raízes da Equação
A equação x³ – 30x² + mx + n = 0 (m e n coeficientes reais) admite como raízes três números inteiros pares e consecutivos.
a) Quais são as três raízes dessa equação?
b) Obtenha os valores de m e n.


Exercício 42 – Raiz Tripla da Equação Algébrica
Sabendo que 1 é a raiz tripla da equação x5 – 3×4 + 4x³ -4x² + 3x – 1 = 0, resolva-a


Exercício 43 – Determine as Raízes da Função Representada pelo Gráfico
A seguir está representada parte do gráfico da função f, decrescente em R, dada por: f(x) = -2x³ + px² – 44x + q, em que p e q são coeficientes reais. Sabendo que o produto de todas as raízes do polinômio é -25/2, determine:
a) o valor de p;
b) o conjunto solução da equação f(x) = 0.


Exercício 44 – Resolva a Equação sabendo que ela Admite Duas Raízes Reais
Resolva a equação x^4 + 4x³ – 2x² + 9 = 0, sabendo que ela admite duas raízes reais, cada qual com multiplicidade igual a 2.


Exercício 45 – Menor Grau de Uma Equação Algébrica
Qual é o menor grau que pode ter uma equação com coeficientes reais que admite:
a) 2, -3 e 4 + i como raízes simples?
b) -2 e 2 + i como raízes simples? Escreva uma equação que satisfaz essa condição.
c) i como raiz dupla? Escreva uma equação que satisfaz essa condição.


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Exercício 46 – Resolva a Equação sabendo que ela possui uma raiz complexa
Resolva a equação x³ – 9x² + 52x – 102 = 0, sabendo que 3 + 5i é uma de suas raízes.


Exercício 47 – Quais os Valores de a e b na Equação Algébrica
A equação 2x² – (a + 10)x + b = 0, com a e b reais, apresenta como raiz o número 3 – i. Quais são os valores de a e b?


Exercício 48 – Verifique se as Afirmações são Verdadeiras ou Falsas
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
a) Uma equação algébrica de grau 4, com coeficientes reais, pode ter 4 raízes reais.
b) Uma equação algébrica de grau 3, com coeficientes reais, pode ter 3 raízes complexas não reais.
c) Na equação do 2° grau ix² – 2x – i = 0, o número complexo i é raiz. Logo, seu conjugado 2i também é raiz.
d) Existe uma equação algébrica de grau 4, com coeficientes reais, cujas raízes são i, 2i, 2 e 3.
e) Uma equação algébrica de grau 4, com coeficientes reais, pode ter uma única raiz real.


Exercício 49 – Determine as Coordenadas do Vértice
Seja f: R em R a função representada pela parábola ao lado e definida pela lei f(x) = ax² + bx + c, com {a, b, c} c R. Sabendo que, em C, uma das raízes da equação f(x) = 0 é o número 4 + 2i, determine:
a) os valores de a, b e c ;
b) as coordenadas de V.


Exercício 50 – Resolva a Equação
Resolva a equação 9x^4 – 18x³ + 46x² – 2x + 5 = 0, sabendo que uma de suas raízes é 1 -2i.


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Exercício 51 – Determine o Valor de a na Equação Algébrica
O número complexo -3i é raiz da equação: x^4 – 2x³ + x² + ax – 72 = 0 em que a é um coeficiente real.
a) Qual é o valor de a?
b) Qual é o conjunto solução dessa equação?


Exercício 52 – Determine os Valores de p, q, r e s na Equação Polinomial
A equação x^4 + px³ + qx² + rx + s = 0, em que p, q, r e s são coeficientes reais, admite a unidade imaginária i como raiz simples e 2 como raiz dupla.
Quais são os valores de p, q, r e s?


Exercício 53 – Quais os Valores de m e n na Equação
A equação x³ + mx² + 2x + n = 0, em que m e n são números reais, admite 1 1 i como raiz.
Quais os valores de m e n?


Exercício 54 – Obtenha o Valor de f(2)
Parte do gráfico da função polinomial f: R em R, crescente em todo o seu domínio e definida por f(x) = x³ + mx² + nx + p, em que m, n e p são coeficientes reais, é mostrada a seguir: Sabendo que uma das raízes de f é 2i, obtenha o valor de f(2).


Exercício 55 – Teorema das Raízes Racionais
Pesquise as raízes racionais da equação: 2x³ + x² – 25x + 12 = 0


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Exercício 56 – Teorema das Raízes Racionais
Resolva em C, as equações:
a) x³ – x² – x – 2 = 0
b) x³ – x² – 14x + 24 = 0


Exercício 57 – Teorema das Raízes Racionais
A diferença entre o cubo de um número real e seu quadrado é igual a soma do triplo do quadrado desse número com 25. Qual é esse número?


Exercício 58 – Teorema das Raízes Racionais
Resolva em C a equação: x^4 + x³ + 2x² + 4x – 8 = 0


Exercício 59 – Mostre que as Raízes da Equação são Irracionais
Faça o que é pedido em cada item a seguir:
a) A equação x^4 – 2x³ -7x² + 6x + 12 = 0 só admite raízes reais. Sabendo disso, mostre que todas são irracionais.
b) Resolva a equação, sabendo que x² – 3 divide esse polinômio.


Exercício 60 – Teorema das Raízes Racionais
Com relação à equação x³ – 5x² + 9x – 5 = 0, determine:
a) o número de raízes inteiras que ela possui;
b) seu conjunto solução


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Exercício 61 – Teorema das Raízes Racionais
Uma parte do gráfico da função definida por y = 4x³ – 25x² + 58x – 13, crescente em R, é mostrada a seguir:
Quais são as três raízes desse polinômio?


Exercício 62 – Teorema das Raízes Racionais
Observe as figuras seguintes, em que estão indicadas as dimensões do cubo e do paralelepípedo:
Determine os valores de x para os quais o volume do cubo excede o do paralelepípedo em 32 unidades.


Exercício 63 – Quais são as Raízes da Equação
O polinômio x³ – 1 divide o polinômio: x5 – 2x4 – 8x³ – x² + 2x + 8 Quais são as raízes da equação p(x) = 0?