Fatorial

Definição:

Em muitas das situações estudadas em Análise Combinatória aparecem, nos cálculos, o produto de números naturais consecutivos, tais como:

10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3628800

ou

7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040

Sendo muito comum nos cálculos combinatórios expressões do tipo citado, torna-se conveniente adotar uma notação que simplifique sua representação. Essa notação é denominada notação fatorial.

Definimos fatorial de um número natural n, n maior ou igual a 2, como sendo o produto de todos os números naturais de n até 1. Representado pela notação n!

Também é definido o fatorial para n = 0 e n = 1:

0! = 1 e 1! = 1

Exemplos:

a) 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
b) 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
c) 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 6!
d) 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 7!

Quando necessário, podemos interromper a expansão de um fatorial antes de se atingir o número 1. Para tanto, basta colocar o símbolo de fatorial no algarismo escrito por último.

Exemplos:

a) 10! = 10 . 9!
b) 15! = 15 . 14 . 13 . 12 . 11!
c) (n + 2)! = (n + 2) . (n + 1) . n!


Exercícios Resolvidos de Fatorial

Calcule o fatorial.
a) 6!
b) 4!
c) 0! + 1!
d) 3! – 2!
e) 7! – 5!
f) 5 . 3!

Solução em vídeo

Obtenha o valor de cada uma das expressões seguintes:
a) 8! / 6!
b) 9! / 10!
c) 3! / 4! + 4! / 5!
d) 7! / 5! * 2!

Solução em vídeo

Efetue:
a) 11! + 9! / 10!
b) 17! – 17 * 16!
c) 40! – 39! / 41!

Solução em vídeo

Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) as seguintes afirmações, considerando que a e b são números naturais quaisquer.
a) (a + b)! = a! + b!
b) (a – b)! = a! – b!
c) (2a)! = 2 * a!
d) (a!)² = a! * a!
e) (a * b)! = a! * b!

Solução em vídeo

Simplifique:
a) (n + 2)! / (n + 1)!
b) (n – 3)! / (n – 2)!
c) (n + 1)! + n! / n!
d) n! – (n – 1)! / (n – 1)! + (n – 2)!

Solução em vídeo

Resolva as seguintes equações:
a) (n + 2)! = 6 . n!
b) n! = 120
c) n! / (n – 2)! = 42
d) (n + 2)! – (n + 1)! / n(n – 1)! = 25
e) (n – 5)! = 1
f) (n!)2 – 100 . n! = 2400

Solução em vídeo

(ENEM-MEC) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido. De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática?

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