Função Quadrática

Vídeos com exercícios resolvidos de Função Quadrática.

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Função Polinomial do 2 grau
Denominamos função polinomial do 2º grau ou função quadrática, a função cujos coeficientes reais a, b e c correspondem a equação ax² + bx + c sendo a diferente de zero.
O gráfico da função polinomial do 2º grau é uma curva denominada parábola.


Zeros ou raízes da função quadrática
Descrição do comportamento do gráfico de função quadrática em função dos diferentes valores de discriminantes (delta).


Vértice da parábola da função quadrática
Descrição das características do vértice de uma função quadrática.


Coeficientes da função quadrática
O sinal do coeficiente a define a concavidade da parábola. As raízes (ou zeros) definem os pontos em que a parábola intersecta o eixo Ox.
O vértice indica o ponto de mínimo (se a maior que 0) ou o de máximo (se a menor que 0).
A reta que passa por V e é paralela ao eixo Oy é o eixo de simetria da parábola.


Gráfico da Função do 2 grau
Construção do gráfico de uma função do 2º grau por meio do cálculo dos pares ordenados.
Gráfico de uma função do 2 grau.
Como fazer o gráfico da função 2 grau.


Exercício 1 – Esboce o Gráfico das Funções do 2º Grau
Esboce o gráfico de cada uma das funções de R em R dadas pelas leis seguintes:
a) y = x²
b) y = 2x²
c) y = -x²
d) y = -2x²


Exercício 2 – Construa o Gráfico das Funções do 2° Grau
Construa o gráfico de cada uma das funções de R em R dadas pelas seguintes leis:
a) y = x² – 2x
b) y = -x² + 3x


Exercício 3 – Faça o Gráfico das Funções do 2º Grau
Faça o gráfico de cada uma das funções de R em R dadas pelas leis seguintes:
a) y = x² – 4x + 5
b) y = -x² + 2x – 1
c) y = x² -2x + 1


Exercício 4 – Determine as Raízes de Cada Uma das Funções
Determine as raízes (zeros) de cada uma das funções de R em R dadas pelas seguintes leis:
a) y = 2x² – 3x + 1
b) y = 4x – x²
c) y = -x² + 2x + 15
d) y = 9x² + 1


Exercício 5 – Resolva em R as Seguintes Equações
Resolva, em R, as seguintes equações:


Exercício 6 – Resolva em R, as Equações a Seguir
Resolva, em R, as equações a seguir:
a) (-x² + 1) (x² – 3x + 2) = 0
b) (x – 1) (x – 2) = (x – 1) (2x + 3)
c) (x + 5)² = (2x – 3)²
d) x³ + 10x² + 21x = 0


Exercício 7 – Domínio e Imagem da Função Quadrática
Seja f: R em R definida por f(x) = (2x + 1) * (x – 3).
Determine o(s) elemento(s) do domínio cuja imagem é -5.


Exercício 8 – Determine o Perímetro do Retângulo
Em um retângulo, a medida de um dos lados excede a medida do outro em 4 cm. Sabendo que a área desse retângulo é 621 m², determine seu perímetro.


Exercício 9 – Viagem de Professores
Um grupo de professores programou uma viagem de confraternização que custaria, no total, R$ 6400,00 – valor que dividiriam igualmente entre si. Alguns dias antes da partida, seis professores desistiram da viagem e assim, cada professor participante pagou R$ 240,00 a mais. Quantos foram à viagem?


Exercício 10 – Valor de Ações de Empresa
Economistas estimam que os valores médios, em reais, das ações de duas empresas A e B sejam dados, respectivamente, por vA(t) e vB(t), em que t é o tempo, em anos, contado a partir da data desta previsão.
a) Qual é o valor atual das ações de cada uma das empresas?
b) Daqui a 4 anos qual ação estará mais valorizada?
c) Daqui a quantos anos as ações das duas empresas terão o mesmo valor? Qual será esse valor?


Exercício 11 – Equação Quadrática
Certo mês, um vendedor de sucos naturais arrecadou uma média diária de R$ 180,00, vendendo cada copo de suco pelo mesmo preço. No mês seguinte, aumentou o preço em R$ 0,50 e vendeu uma média de 18 unidades a menos por dia, mas a arrecadação média diária foi a mesma. Determine:
a) o preço do copo de suco no primeiro mês;
b) o número de copos por dia vendidos no primeiro mês;
c) o número de copos por dia vendidos no segundo mês.


Exercício 12 – Raízes da Função Quadrática
Determine os valores reais de p a fim de que a função quadrática f dada por f(x) = x² – 2x + p admita duas raízes iguais e reais.


Exercício 13 – Valores Reais de m – Duas Raízes Reais e Distintas
Estabeleça os valores reais de m para os quais a função f, de R em R, definida por f(x) = 5x² – 4x + m, admita duas raízes reais e distintas.


Exercício 14 – Quantidade de Raízes da Função Quadrática
Encontre, em função de m, m E R, a quantidade de raízes da função f, de R em R, dada pela lei y = x² – 4x + (m + 3)


Exercício 15 – Menor Número Inteiro – Raízes Reais
Qual é o menor número inteiro p para o qual a função f, de R em R, dada por f(x) = 4x² + 3x + (p + 2), não admite raízes reais.


Exercício 16 – Soma e Produto das Raízes Reais das Equações
Calcule a soma e o produto das raízes reais das seguintes equações do 2º grau.
a) 3x² – x – 5 = 0
b) -x² + 6x – 5 = 0
c) 2x² – 7 = 0
d) x(x – 3) = 2
e) (x – 4)(x + 5) = 0


Exercício 17 – Raízes da Equação do 2º Grau
Sejam r1 e r2 as raízes da equação do 2º grau 2x² – 6x + 3 = 0.
Determine o valor de:
a) r1 + r2
b) r1 * r2
c) (r1 + 3) (r2 + 3)


Exercício 18 – Determine as Raízes da Equação do 2º Grau
A diferença entre as raízes da equação x² + 11x + p = 0 (com p E R) é igual a 5. Com base nesse dado:
a) determine as raízes
b) encontre o valor de p.


Exercício 19 – Encontre as Raízes da Equação
Uma das raízes da equação x² – 25x + 2p = 0 (com p E R) excede a outra em 3 unidades. Encontre as raízes da equação e o valor de p.


Exercício 20 – Valor de m em Equação do 2º Grau
As raízes reais da equação x² + 2mx + 48 = 0 (com m E R) são negativas e uma é o triplo da outra. Qual é o valor de m?


Exercício 21 – Resolva Mentalmente as Equações do 2º Grau
Resolva mentalmente as equações do 2º grau usando soma e produto.
a) x² – 2x – 3 = 0
b) x² + 6x + 5 = 0
c) x² + 4x – 5 = 0
d) x² + 2x – 35 = 0


Exercício 22 – Sinal da Soma e Produto das Raízes de uma Função Quadrática
Em cada item, está representado o gráfico de uma função quadrática f. Determine, para cada caso, o sinal da soma (s) e do produto (P) das raízes de f:


Exercício 23 – Raiz Nula e Outra Positiva de uma Equação do 2º Grau
Determine m E R de modo que a equação x² + mx + (m² – m – 12) = 0 tenha uma raiz nula e a outra positiva.


Exercício 24 – Forma Fatorada da Função do 2º Grau
Em cada caso, obtenha a forma fatorada de f, sendo:
a) f(x) = x² – 8x
b) f(x) = x² – 7x + 10
c) f(x) = -2x² + 10x
d) f(x) = 2x² + 10x – 25
e) f(x) = 2x² – 5x + 2


Exercício 25 – Vértice da Parábola das Funções Quadráticas
Obtenha o vértice de cada uma das parábolas representativas das funções quadráticas:
a) y = x² – 6x + 4
b) y = -2x² – x + 3
c) y = x² – 9


Exercício 26 – Valor Mínimo ou Máximo das Funções Quadráticas
Qual é o valor mínimo (ou máximo) assumido por cada uma das funções quadráticas dadas pelas leis abaixo?
a) y = -2x² + 60x
b) y = x² – 4x + 8
c) y = -x² + 2x – 5
d) y = 3x² + 2


Exercício 27 – Conjunto Imagem da Função Quadrática
Qual é o conjunto imagem de cada uma das funções quadráticas dadas pelas leis abaixo?
a) y = x² – 2
b) y = 5 – x²
c) y = (x + 1)(2 – x)
d) y = x(x + 3)


Exercício 28 – Coeficientes do Gráfico da Função Quadrática
O gráfico seguinte representa a função quadrática dada por y = -3x² + bx + c. Quais são os valores de b e c?


Exercício 29 – Lançamento Oblíquo
Uma bola, lançada verticalmente para cima, a partir do solo, tem sua altura h (em metros) expressa em função do tempo t (em segundos), decorrido após o lançamento, pela lei: h(t) = 40t – 5t² Determine:
a) a altura em que a bola se encontra 1 s após o lançamento;
b) o(s) instante(s) em que a bola se encontra a 75 m do solo;
c) a altura máxima atingida pela bola;
d) o instante em que a bola retorna ao solo.


Exercício 30 – Valores Mínimo e Máximo do Preço de um Produto
Estima-se que, para um exportador, o valor v(x), em milhares de reais, do quilograma de certo minério seja dado pela lei: v(x) = 0,6x² – 2,4x + 6, sendo x o número de anos contados a partir de 2010 (x = 0), com 0 x 10.
a) Entre que anos o valor do quilograma desse produto diminuiu?
b) Qual é o valor mínimo atingido pelo quilograma do produto?
c) Em que ano o preço do quilograma do produto será máximo? Qual será esse valor?


Exercício 31 – Valor de Máximo e Mínimo de uma função do 2º Grau
A lei que expressa o número (y) de milhares de downloads de um aplicativo baixado em smartphones, em função do número (x) de semanas transcorridas desde o instante em que esse aplicativo ficou disponível para ser baixado, é: y = -1/50 x² + cx, em que c é uma constante real. Sabendo que, ao completar uma semana do início da contagem, já haviam sido registrados 700 downloads, determine:
a) após quantas semanas, no mínimo não foram registrados mais downloads desse aplicativo;
b) após quantas semanas do início o número de downloads foi máximo e qual foi esse número.


Exercício 32 – Valor Máximo de Uma Função do 2º Grau
Um fazendeiro possui 150 metros de um rolo de tela para cercar um jardim retangular e um pomar, aproveitando, como um dos lados, parte de um muro, conforme indica a figura seguinte:
a) Para cercar com a tela a maior área possível, quais devem ser os valores de x e y?
b) Qual seria a resposta, caso não fosse possível aproveitar a parte do muro indicada, sendo necessário cercá-la com a tela? Nesse caso, em que percentual ficaria reduzida a área máxima da superfície limitada pelo jardim e pelo pomar reunidos?


Exercício 33 – Valor Máximo de uma Função do 2º Grau
Entre todos os retângulos de perímetro 20 cm, determine aquele cuja área é máxima. Qual é essa área?


Exercício 34 – Valor Mínimo de uma Função do 2º Grau
Considere todos os pares ordenados (x, y), com x E R e y E R, tais que x – y = 2. Quais os valores de x e y de modo que a soma dos quadrados de x e de y seja a menor possível? Qual é o valor encontrado para essa soma?


Exercício 35 – Esboço do Gráfico da Função do Segundo Grau
Faça o esboço do gráfico das funções dadas pelas leis seguintes, com domínio em R, destacando o conjunto imagem.


Exercício 36 – Esboço do Gráfico da Função do Segundo Grau – Conjunto Imagem
Esboce o gráfico de cada uma das funções dadas pelas leis a seguir, com domínio real, e forneça também o conjunto imagem:


Exercício 37 – Esboço do Gráfico da Função Quadrática
Faça o esboço do gráfico de cada função quadrática definida pela lei dada, destacando os intervalos em que a função é crescente ou decrescente:
a) y = 4x² – 2x
b) y = -2x² + 4x – 5
c) y = -x² – 2x – 1
d) y = -x² + 2x + 8


Exercício 38 – Comparação de Função Afim e Função Quadrática
Um biólogo desejava comparar a ação de dois fertilizantes. Para isso, duas plantas A e B da mesma espécie, que nasceram no mesmo dia, foram desde o início tratadas com fertilizantes diferentes. Durante vários dias ele acompanhou o crescimento dessas plantas, medindo, dia a dia, suas alturas. Ele observou que a planta A cresceu linearmente, à taxa de 2,5 cm por dia; e a altura da planta B pode ser modelada pela função dada por y = (20x – x²)/6, em que y é a altura medida em centímetros e x o tempo medido em dias.
a) Obtenha a diferença entre as alturas dessas plantas com 2 dias de vida.
b) Qual é a lei da função que representa a altura (y) da planta A em função de x (número de dias)?
c) Determine o dia em que as duas plantas atingiram a mesma altura e qual foi essa altura.
d) Calcule a taxa média de variação do crescimento das plantas A e B do 1º ao 4º dia.


Exercício 39 – Sinal dos Coeficientes da Função Quadrática
A parábola seguinte representa a função dada por f(x) = ax² + bx + c. Determine o sinal dos coeficientes a, b e c.


Exercício 40 – Lei de Formação da Função Quadrática
Determine a lei da função que cada gráfico a seguir representa:


Exercício 41 – Forma Fatorada da Função Quadrática
A figura a seguir mostra os gráficos de duas funções, f e g.
a) Usando a forma fatorada, obtenha a lei que define f?
b) Qual é a lei que define g?
c) Qual é a ordenada do ponto P?


Exercício 42 – Lei de Formação da Função Quadrática
Determine, em cada caso, a lei que define a função quadrática:
a) de raízes 4 e 22 e cujo vértice da parábola correspondente é o ponto (1, 9);
b) de raiz dupla igual a 3 e cujo gráfico intersecta o eixo Oy em (0, 3);
c) cujo gráfico contém os pontos (-1, -4), (1, 2) e (2, -1).


Exercício 43 – Estudo do Sinal da Função Quadrática
Faça o estudo do sinal de cada função, de R em R, cujo gráfico está representado a seguir:


Exercício 44 – Estudo do Sinal da Função Quadrática
Faça o estudo de sinal de cada uma das funções de R em R, definidas pelas seguintes leis:


Exercício 45 – Resolva em R, as seguintes Inequações
Resolva em R, as seguintes inequações:
a) x² – 11x – 42
b) 3x² + 5x – 2
c) -x² + 4x + 5
d) -4x² + 12x – 9
e) 3x² + x + 5
f) 9x² – 24x + 16


Exercício 46 – Determine o Conjunto Solução das Seguintes Inequações
Determine, em R, o conjunto solução das seguintes inequações
a) -x² + 10x – 25 = 0
b) x² – 8x + 15 = 0
c) -x² – 2x = 15
d) x² + 2x = 35
e) -x² – 4x – 3 = 0
f) x² – 3x = 1


Exercício 47 – Resolva, em R, as inequações
Resolva, em R, as inequações:
a) x (x – 3) = 0
b) x² = 16
c) 9x² = 3x
d) -4x² = 9
e) (V3)² = x²
f) x ( x + 3) = x (2 – x)


Exercício 48 – Inequação – Lucro Máximo
Na fabricação de certo produto, o lucro mensal de uma empresa, em milhares de reais, é dado por L(x) = -3x/4 + 90x – 1 500, sendo x o número de milhares de peças vendidas no mês. Determine:
a) o lucro mensal máximo na venda dessas peças;
b) para que valores de x a empresa tem prejuízo, isto é, L , 0;
c) em que intervalo deve variar o número de peças vendidas a fim de que o lucro supere 1 milhão de reais. Use V600 = 24,5.


Exercício 49 – Conjunto Solução da Inequação f(x)
Na figura a seguir tem-se os gráficos das funções quadráticas f e g. Determine:
a) as raízes de f;
b) o vértice de cada uma das parábolas que representam essas funções;
c) o conjunto solução da inequação g(x) = 0;
d) o conjunto solução da inequação f(x) = 0.


Exercício 50 – Determine o valor de m para a Inequação
Todos os pontos do gráfico da função quadrática f: R em R definida por f(x) = mx² – 2x + m estão localizados abaixo do eixo das abscissas. Determine os possíveis valores reais de m.