Progressões
Sequências Numéricas
Exercício 1 – Seja a sequência definida por an = -3 + 5n, n pertencente ao Naturais. Determine:
a) a2
b) a4
c) a11
Exercício 2 – Escreva os quatro primeiros termos da sequência.
Exercício 3 – Para cada função definida a seguir, represente a sequência associada.
Exercício 4 – O termo geral de uma sequência é an = 143 – 4n, com n E N*.
a) Qual é a soma de seus 3 primeiros termos?
b) Os números 71, 2345 e 2195 pertencem à sequência?
Em caso afirmativo, determine suas posições.
Exercício 5 – Construa a sequência definida pela relação:
a1 = -5
a(n+1) = 2 * an + 3
Exercício 6
Determine o sexto termo da sequência definida pela lei de recorrência:
Exercício 7 – Seja f: N* em N definida por f(n) = n³ + n² + 1. Ao representar a sequência associada a f, um estudante apresentou a seguinte resolução: (3, 13, x, 81, 151, x, …) Por algum motivo, dois números da sequência acima saíram borrados. Determine-os, reescrevendo a sequência.
Exercício 8 – Os termos gerais de duas sequências (an) e (bn) são, respectivamente, an = -193 + 3n e bn = 220 – 4n, para todo n E N, n menor que 1.
a) Escreva os cinco primeiros termos de (an) e de (bn).
b) Qual é o primeiro termo positivo de (an)? Que posição ele ocupa na sequência?
c) Qual é o primeiro termo negativo de (bn)? Que posição ele ocupa na sequência?
d) As duas sequências apresentam algum termo em comum? Em caso afirmativo, determine-o.
Progressões Aritméticas
Exercício 9 – Quais das sequências seguintes representam progressões aritméticas.
Exercício 10 – Determine a razão de cada uma das progressões aritméticas seguintes, classificando-as em crescente, decrescente ou constante.
Exercício 11 – Dada a P.A. (28, 36, 44, 52, …), determine seu:
a) oitavo termo;
b) décimo nono termo.
Exercício 12 – Em uma P.A. de razão 9, o 10º termo vale 98.
a) Qual é seu 2º termo?
b) Qual é seu termo geral?
Exercício 13 – Preparando-se para uma competição, um atleta corre sempre 400 metros a mais que a distância percorrida no dia anterior. Sabe-se que no 6º dia ele correu 3,2 km. Qual é a distância percorrida pelo atleta no 2º dia?
Exercício 14 – Faça o que se pede:
a) Escreva a P.A. em que o 4º termo vale 24 e o 9º termo vale 79.
b) Considerando a sequência formada pelos termos de ordem par (2º, 4º, 6º, …) da P.A. do item a, determine seu 20º termo.
Exercício 15 – Escreva a P.A. em que a1 + a3 + a4 = 0 e a6 = 40.
Exercício 16 – Qual é a razão da P.A. dada pelo termo geral an = 310 – 8n?
Exercício 17 – Sabendo que cada sequência a seguir é uma P.A. determine o valor de x.
a) (3x – 5, 3x + 1, 25)
b) (-6 – x, x + 2, 4x)
c) (x + 3, x², 6x + 1)
Exercício 18 – Uma empresa de TV por assinatura planejou sua expansão no biênio 2016-2017 estabelecendo a meta de conseguir, a cada mês, 450 contratos a mais que o número de contratos comercializados no mês anterior. Supondo que isso realmente tenha ocorrido e sabendo que no último bimestre de 2016 o número total de contratos fechados foi de 12 000, determine a quantidade de contratos comercializados em:
a) março de 2016;
b) abril de 2017;
c) dezembro de 2017.
Exercício 19 – Considere a sequência dos números naturais que, divididos por 7, deixam resto igual a 4.
a) Qual é o termo geral dessa sequência?
b) Qual é o 50º termo dessa sequência?
Exercício 20 – Com relação à P.A. (131, 138, 145, …, 565):
a) obtenha seu termo geral;
b) determine seu número de termos.
Exercício 21 – Quantos números ímpares existem entre 72 e 468?
Exercício 22 – Quantos números inteiros x, com 23 < x < 432, não são múltiplos de 3?
Exercício 23 – A soma da P.A. é 72 e seu Produto é 560. Qual é a P.A.?
A soma de três números que compõem uma P.A. é 72. e o produto dos termos extremos é 560. Qual é a P.A.?
Sugestão: às vezes, é interessante representar 3 termos desconhecidos de uma P.A. por x -r, x, x + r, em que r é a razão da P.A.
Exercício 24 – Determine as medidas dos ângulos internos de um Triângulo
Em um triângulo, a medida do maior ângulo interno é 105°. Determine as medidas de seus ângulos internos, sabendo que elas estão em P.A.
Exercício 25 – Qual é a medida da Hipotenusa?
As medidas dos lados de um triângulo retângulo são numericamente iguais aos termos de uma P.A. de razão 4.
Qual é a medida da hipotenusa?
Exercício 26 – Represente o Conjunto Imagem de f
Seja f: N em N definida por f(x) = -2 + 3x.
a) Represente o conjunto imagem de f
b) Faça a representação gráfica dessa função.
Exercício 27 – Qual é a razão da P.A. com Logaritmo?
Mostre que a sequência (log 80, log 20, log 5) é uma P.A.
Qual é a razão dessa P.A.?
Exercício 28 – Perímetro, Lado e Diagonal de uma Sequência de Quadrados
Dado um quadrado Q1 de lado l = 1cm, considere a sequência de quadrados (Q1, Q2, Q3, …), em que o lado de cada quadrado é 2cm maior que o lado do quadrado anterior. Determine:
a) o perímetro de Q20
b) a área de Q31
c) a diagonal de Q10
Exercício
29 – Intervalo de Mesas em Maratona
Em uma maratona, os organizadores decidiram, devido ao forte calor, colocar mesas de apoio com garrafas de água para os corredores, a cada 800 metros, a partir do quilômetro 5 da prova, onde foi instalada a primeira mesa.
a) Sabendo que a maratona é uma prova com 42,195 km de extensão, determine o número total de mesas de apoio que foram colocadas pela organização da prova.
b) Quantos metros um atleta precisa percorrer da última mesa de apoio até a linha de chegada?
c) Um atleta sentiu-se mal no quilômetro 30 e decidiu abandonar a prova. Ele lembrava que havia pouco tempo que ele cruzara uma mesa de apoio. Qual era a opção mais curta: voltar a essa última mesa ou andar até a próxima?
Exercício 30 – As medidas de Perímetro, Diagonal e Área do Quadrado são uma P.A.?
Os números que expressam as medidas do perímetro, diagonal e a área de um quadrado, nesta ordem, podem ser os termos de uma P.A.? Em caso afirmativo, quanto mede o lado desse quadrado?
Exercício 31 – Copa do Mundo de Futebol e Progressão Aritmética
A Copa do Mundo de Futebol é um evento que ocorre de quatro em quatro anos. A 1a Copa foi realizada em 1930, no Uruguai. De lá para cá, apenas nos anos de 1942 e 1946 a Copa não foi realizada, devido à 2ª Guerra Mundial.
a) A Copa de 2014 foi realizada no Brasil. Qual é a ordem desse evento na sequência de anos em que foi realizada?
b) Considerando que os próximos eventos ocorram seguindo o mesmo padrão e que não existam imprevistos que impeçam a realização desse evento, responda: haverá Copa em 2100? E em 2150?
Soma dos Termos de uma P.A.
Exercício 32 – Calcule a soma dos quinze primeiros termos da P.A. (245, 241, 237, 233, …).
Exercício 33 – Calcule a soma dos vinte primeiros termos da P.A. (0,15; 0,40; 0,65; 0,9; …).
Exercício 34 – Para a compra de uma TV pode-se optar por um dos planos seguintes:
• plano alfa: entrada de R$ 400,00 e mais 13 prestações mensais crescentes, sendo a primeira de R$ 35,00, a segunda de R$ 50,00, a terceira de R$ 65,00 e assim por diante;
• plano beta: 15 prestações mensais iguais de R$ 130,00 cada uma.
a) Em qual dos planos o desembolso total é maior?
b) Qual deveria ser o valor da entrada do plano alfa para que, mantidas as demais condições, os desembolsos totais fossem iguais?
Exercício 35 – Suponha que, em certo mês (com 30 dias), o número de queixas diárias registradas em um órgão de defesa do consumidor aumente segundo uma P.A. Sabendo que nos dez primeiros dias houve 245 reclamações, e nos dez dias seguintes houve mais 745 reclamações, represente a sequência do número de queixas naquele mês.
Exercício 36 – A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é dada por Sn = 18n – 3n², sendo n pertencente a N*. Determine:
a) o 1º termo da P.A.
b) a razão da P.A.
c) o 10º termo da P.A.
Exercício 37 – Uma criança organizou suas 1378 figurinhas, colocando 3 na primeira fileira, 7 na segunda fileira, 11 na terceira fileira, 15 na quarta e assim por diante, até esgotá-las. Quantas fileiras a criança conseguiu formar?
Exercício 38 – Utilizando-se um fio de comprimento L é possível construir uma sequência de 16 quadrados em que a medida do lado de cada quadrado, a partir do segundo, é 2 cm maior que a medida do lado do quadrado anterior. Sabendo que para a construção do sétimo quadrado são necessários 68 cm, determine o valor de L.
Exercício 39 – No esquema seguinte, os números naturais não nulos aparecem dispostos em blocos de três linhas e três colunas.
a) Em que linha e coluna encontra-se o elemento 787? A qual bloco ele pertence?
b) Determine o elemento que está na 3a linha e 1a coluna do bloco B 100.
c) Determine o elemento que está na 2ª linha e 3ª coluna do bloco B 500.
d) Qual é a soma de todos os elementos que se encontram na 2a linha e 2a coluna dos 500 primeiros blocos?
e) Qual é a soma de todos os elementos escritos nos 200 primeiros blocos?
Exercício 40 – P.A. e Função Afim
Seja f:N* – R a função cujo gráfico está abaixo representado.
a) determine a lei de f.
b) Qual é a progressão aritmética associada à função f? Obtenha seu termo geral.
Progressões Geométricas
Exercício 41 – Identifique as sequências que representam progressões geométricas.
Exercício 42 – Calcule a razão de cada uma das seguintes progressões geométricas.
Exercício 43 – Qual é o 8º termo da P.G. (-1, 4, -16, 64, …)?
Exercício 44 – Qual é o 6º termo da P.G. (-240, -120, -60, …)?
Exercício 45 – Em uma P.G. crescente, o 3º termo vale -80, e o 7º termo, -5. Qual é seu 1º termo?
Exercício 46 – O número de consultas a um site de comércio eletrônico aumenta semanalmente (desde a data em que o portal ficou acessível), segundo uma P.G. de razão 3. Sabendo que na 6ª semana foram registradas 1458 visitas, determine o número de visitas ao site registrado na 3ª semana.
Exercício 47 – Em uma colônia de bactérias, o número de elementos dobra a cada hora. Sabendo que, na 5ª hora de observação, o número de bactérias era igual a 419, determine:
a) o número de bactérias na colônia na 1ª hora de observação;
b) o número de bactérias esperado para a 10ª hora de observação.
Exercício 48 – Em uma reunião de condomínio, os moradores analisaram os valores das taxas mensais de obras cobradas em alguns meses de 2016: março: R$ 120,00, abril: R$ 144,00, maio: R$ 172,80, junho: R$ 207,36. Um dos moradores percebeu que havia uma regularidade nesses valores.
a) Classifique a sequência de valores cobrados, determinando sua razão.
b) Sabe-se que o padrão na cobrança teve início em janeiro de 2016 e se estendeu até janeiro de 2017. Determine a diferença entre os valores cobrados em janeiro desses 2 anos, arredondando, em todos os cálculos para valores inteiros.
Exercício 49 – Determine o Valor de x na P. G.
Em cada item a seguir, a sequência é uma P.G.
Determine o valor de x:
a) (4, x, 9)
b) (x² – 4, 2x + 4, 6)
c) (-2, x = 1, -4x + 2)
d) (1/2, log x, 8)
Exercício 50 – As idades da senhora Beatriz, de sua filha e de sua neta formam, nessa ordem, uma P.G. de razão 2/3. Determine as três idades, sabendo que a neta tem cinquenta anos a menos que a avó.
Exercício 51 – Sequência de uma P.G.
Subtraindo-se um mesmo número de cada um dos termos da sequência (2, 5, 6), ela se transforma em uma P.G.
Exercício 52 – Valor das Parcelas de uma Dívida
Uma dívida deverá ser paga em sete parcelas, de modo que elas constituam termos de uma P.G. Sabe-se que os valores da 3ª e 6ª parcelas são, respectivamente, R$ 144,00 e R$ 486,00. Determine:
a) o valor da 1ª parcela;
b) o valor da última parcela.
Exercício 53 – Quantidade de Termos de uma P.G.
Para cada P.G. seguinte, encontre o número de termos:
Exercício 54 – P.G. com Lado, Perímetro e Área de um Quadrado
Os números que expressam as medidas do lado, o perímetro e a área de um quadrado podem estar, nessa ordem, em P.G.? Em caso afirmativo, qual deve ser a medida do lado do quadrado?
Exercício 55 – 1º Termo de uma P.G.
Em uma P.G. de 3 termos positivos, o produto dos termos extremos vale 625, e a soma dos dois últimos termos é igual a 30.
Qual é o 1º termo?
Exercício 56 – Produto dos Três Termos de uma P.G.
Escreva três números em P.G. cujo produto seja 216 e a soma dos dois primeiros termos seja 9.
Exercício 57 – Progressão Aritmética e Progressão Geométrica
A sequência (13, 4x + 1, 21) é uma P.A. e a sequência (x/8, y, 32) é uma P.G. Quais são os valores de x e y?
Exercício 58 – Termos de uma P.A. e uma P.G. ao mesmo tempo
A sequência (8, 2, a, b, …) é uma P.G. e a sequência (b, 3/16, c, … é uma P.A.
a) Qual é o valor de c?
b) O número a pertence à P.A.? Em caso afirmativo, qual é a sua posição nessa sequência?
Exercício 59 – Razão da Progressão Aritmética e da Progressão Geométrica
Sejam f e g duas funções definidas de N* em N* dadas pelos termos gerais an = 3n + 4 e bn = 2an, respectivamente. Verifique se f é uma P.A. e g é uma P.G., e, em caso afirmativo, determine suas respectivas razões.
Exercício 60 – Progressão Aritmética Crescente e Razão da Progressão Geométrica
Em uma P.A. crescente, cujo primeiro termo vale 2, o 2°, o 5° e o 14° termos formam, nessa ordem, uma P.G. Obtenha a razão dessa P.G.
Exercício 61 – Sequência que é P.A. e P.G. ao Mesmo Tempo
Qual é a condição sobre os números reais a, b e c de modo que a sequência (a, b, c) seja, simultaneamente, uma P.A. e uma P.G.?
Soma dos Termos de uma P.G.
Exercício 62 – Soma dos Termos de uma P.G.
Calcule a soma dos seis primeiros termos da P.G. (22, 4, 28, …).
Exercício 63 – Soma dos Termos de uma P.G.
Calcule a soma dos oito primeiros termos da P.G. (320, 160, 80, …).
Exercício 64 – Soma de Termos de uma P.G. – Total de Livros Vendidos
A tabela seguinte informa a projeção do número de livros vendidos em uma livraria nos primeiros anos de atividade:
Se for mantido esse padrão, qual será o total de livros vendidos nessa livraria nos seus dez primeiros anos de atividade?
Exercício 65 – Soma dos Termos de uma P.G. – Financiamento de Moto
No financiamento de uma moto, ficou combinado que o proprietário faria o pagamento em vinte prestações mensais que formam uma P.G. de razão 1,02. Sabendo que o valor da quarta prestação era de R$ 318,00, determine o valor pago pela moto.
Exercício 66 – Soma dos Termos de uma P.G. Finita
Seja a sequência definida pelo termo geral an = 3n / 6, n E N*
a) Calcule a soma de seus primeiros termos.
b) Quantos termos devemos somar na sequência, a partir do primeiro, a fim de obter soma igual a 14762?
Exercício 67 – Soma dos Perímetros de uma Sequência de Triângulos
Na sequência abaixo, todos os triângulos são equiláteros e o perímetro de determinado triângulo, a partir do 2°, é 5/4 do perímetro do triângulo anterior: Sabendo que o lado do 2° triângulo mede 1 m, determine:
a) a medida do perímetro do 1° triângulo;
b) a medida do lado do 4° triângulo;
c) o número inteiro mínimo de metros necessários para a construção da sequência acima. Considere 1,25 = 4,8.
Exercício 68 – Soma dos Termos de uma P.G.
Certo dia, em uma pequena cidade, 5 pessoas ficam sabendo que um casal do colégio começou a namorar. No dia seguinte, cada uma delas contou essa notícia para outras duas pessoas. Cada uma dessas pessoas repassou, no dia seguinte, essa notícia para outras duas pessoas e assim sucessivamente. Passados oito dias, quantas pessoas já estarão sabendo da notícia? Admita que ninguém fique sabendo da notícia por mais de uma pessoa.
Soma dos Termos de uma P.G. Infinita
Exercício 69 – Determine o valor da soma das P.G. Infinitas
Determine o valor de:
a) 20 + 10 + 5 + 2,5 + …
b) 90 + 9 + 9/10 + 9/100 + …
c) 10 + 10 + 10 + …
Exercício 70 – Soma dos Termos de uma P.G. Infinita
Seja a sequência dada pelo termo geral an = 9 / 2 . 3n, em que n E N.
Qual é o valor de a2 + a4 + a6 + a8 + ….
Exercício 71 – Fração Geratriz das Dízimas Periódicas
Encontre a fração geratriz de cada uma das seguintes dízimas periódicas:
a) 0,444…
b) 1,777…
c) 0,27
d) 2,36
Exercício 72 – Soma dos Perímetros e Soma de Áreas de Quadrados
Considere uma sequência infinita de quadrados em que, a partir de Q2, a medida do lado de cada quadrado é a décima parte da medida do lado do quadrado anterior. Sabendo que o lado de Q1 mede 10 cm, determine:
a) a soma dos perímetros de todos os quadrados da sequência;
b) a soma das áreas de todos os quadrados da sequência.
Exercício 73 – Resolva, em R, as Seguintes Equações
Resolva, em R, as seguintes equações:
a) x² + x³/2 + x/4 + …. = 1/3
b) (1 + x) + (1 + x)² + (1 + x)³ + … = 3
c) x + x² /4 + x³ / 16 + … = 4/3
Exercício 74 – Soma de Perímetros de Triângulos
Seja um triângulo equilátero de lado 12 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se outro triângulo equilátero no centro da figura. Unindo-se os pontos médios dos lados desse último triângulo, constrói-se outro triângulo no centro da figura, e assim indefinidamente.
a) Qual é a soma dos perímetros de todos os triângulos assim construídos?
b) Qual é a soma das áreas de todos os triângulos assim construídos?
Exercício 75 – Distância Percorrida por uma Bola – P.G. Infinita
Uma bola é atirada ao chão de uma altura de 200 cm. Ao atingir o solo pela primeira vez, ela sobe até uma altura de 100 cm, cai e atinge o solo pela segunda vez, subindo até uma altura de 50 cm, e assim por diante subindo sempre metade da altura anterior, até perder energia e cessar o movimento. Quantos metros a bola percorre ao todo?
Exercício 76 – P.G. e Função Exponencial
Seja f: N* em R uma função definida por f(x) = 4 . (0,5)x.
a) Represente o conjunto imagem de f.
b) Esboce o gráfico de f.
Exercício 77 – Progressão Geométrica Associada a Função
O gráfico abaixo representa a função f, de domínio N*, definida por y = 1/6 . 3, sendo k uma constante real.
a) Determine o valor de k.
b) Qual é a progressão geométrica associada à função f? Obtenha seu termo geral e sua razão.