Introdução
O conjunto dos números complexos surge a partir da necessidade de explicar a existência e dar significado as raízes quadradas negativas. Aprendemos na Matemática de Ensino Básico que não existem raízes reais quando o discriminante da fórmula para solução de uma equação quadrática é negativo.
Por exemplo, a equação x2 + 9 = 0, não tem solução no conjunto dos números Reais. Pois, ao tentar solucionar a equação teremos como resultado a raiz quadrada de um número negativo. A Figura 1 mostra as operações realizadas.
Como aprendemos não existe um número que elevado ao quadrado dê como resultado um número negativo. Observe a seguir que 3 ou -3 não tornam a igualdade verdadeira conforme Figura 2.
Por outro lado, observe que todo número negativo pode ser escrito como o produto de seu simétrico por -1 conforme Figura 3.
Utilizando a igualdade da Figura 3, observe que (-1) = (?)². Logo, a solução para determinar a raiz quadrada de um número negativo consiste em introduzir um novo ente matemático que verifique a igualdade (?)² = -1.
Portanto, para tornar possível a solução de toda equação quadrática foi acrescentado mais um conjunto numérico aos já existentes que recebeu o nome de conjunto dos Números Complexos sendo pertencente a este conjunto um novo número denominado como i conforme mostra a Figura 4.
Um número complexo é um número que tem a forma de a + bi, onde a e b são número reais.
Exemplos:
São exemplos de números complexos:
3 + 4i
-7
5i
3 é parte real, 4 é a parte imaginária;
-7 é a parte real, 0 é a parte imaginária;
0 é parte real (não existe), 5 é a parte imaginária;
Um número similar a 5i, cuja parte real é igual a zero, é denominado de número imaginário puro. Um número real similar a -7 também pode ser entendido como um número complexo.
No conjunto dos números complexos toda equação quadrática tem solução. Por exemplo, 3i e -3i são soluções da equação x² = – 9.
(3i)² = 3² i² = 9 . (-1) = – 9
(-3i)² = (-3)² i² = 9 . (-1) = – 9
Exercícios Resolvidos
Identifique a parte real e a parte imaginária de cada um dos seguintes números complexos:
a) 4 + 5i
b) 3i + 3
c) (-2 + 5i) / 3
d) -iV3
Em cada caso, determine o número real m de modo que:
a) z = (m – 3) + 4i seja imaginário puro;
b) z = – 3 + (m + 3)i seja real.
Determine os números reais m e n, para que os números complexos v = (-2 – m) + 3ni e w = 4 – (m² – 4)i sejam, respectivamente, imaginário puro e real. Neste caso, determine v e w.
Dado o número complexo z = (3 – x) + (x + 1)i, em cada caso seguinte determine os valores reais de x para que se tenha:
a) Re(z) = 2
b) Im(z) = – 4
c) Re(z) > Im(z)
d) Im(z) < 3