Números Complexos

Vídeos com exercícios resolvidos de Números Complexos.

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Plano Argand-Gauss – Interpretação de número complexo na forma algébrica e na forma trigonométrica no plano Argand-Gauss.

Potencias de i.

Potênciação de Números Complexos – Potência de um número complexo na forma algébrica.


Multiplicação de Números Complexos – Descrição da multiplicação de dois números complexos na forma algébrica.

Divisão de Números Complexos – Descrição da divisão de números complexos na forma algébrica.


Exercício 1 – Soma e Multiplicação de Pares Ordenados
Em cada caso, efetue as operações indicadas:
a) (3, 2) + (0, 1)
b) (2, 3) . (-1, 4)
c) (2x – y, 6x + 2y) + (x – 2y, x); x E R e y E R
d) (-1, -1) . (-4, 2)
e) (2, -3) – (-1, -2)
f) (1, 0) . (x, -y); x E R e y E R


Exercício 2 – Represente no Plano Argand-Gauss
Represente no plano de Argand-Gauss os pontos M, N, P e Q, respectivas imagens dos números complexos z1 = (-2, 1), z2 = (0, -1), z1 + z2 e z1 . z2.


Exercício 3 – Igualdade de Números Complexos
Dados os números complexos z1 = (x, 3) e z2 = (2 – y, y), determine os números reais x e y de modo que z2 + z1 = (5, -4).


Exercício 4 – Potência de i
Calcule as potências de i.


Exercício 5 – Potência de i
Efetue as operações com potências de i.


Exercício 6 – Potências de i
Se i é a unidade imaginária, determine em cada caso o valor de A


Exercício 7 – Forma Algébrica ou Par ordenado
Escreva cada um dos números complexos seguintes na correspondente forma algébrica ou como par ordenado.
a) (3, -2)
b) (-4, 3)
c) (0, 4)
d) 5i
e) -5
f) -3 + i


Exercício 8 – Parte Real e Parte Imaginária de um Número Complexo
identifique a parte real e parte imaginária de cada um dos seguintes números complexos.
a) 4 + 5i
b) 3i + 3


Exercício 9 – Imaginário Puro e Número Real
Em cada caso, determine o número real m de mode que:
a) Seja imaginário puro
b) seja real


Exercício 10 – Imaginário Puro ou Número Real
Determine os números reais m e n, para que os números complexos v = (-2 – m) + 3ni e w = 4 – (m² – 4)i sejam, respectivamente, imaginário puro e real. Neste caso, determine v e w.


Exercício 11 – Número Imaginário e Número Real
Dado o número complexo z = (3 – x) + (x + 1)i, em cada caso seguinte determine os valores reais de x para que se tenha:
a) Re(z) = 2
b) Im(z) = -4
c) Re(z) > Im(z)
d) Im(z) < 3


Exercício 12 – Igualdade de Números Complexos
Em cada caso, determine os números reais m e n para que a igualdade seja verdadeira.
a) m + (n + 1)i = -4 + 3i
b) (n – 2, m + 5) = (3, 2i)
c) (m – 3) + (n – 2)i = 5i
d) (m – n + 1) + (2m + n – 4)i = 0


Exercício 13 – Soma e Subtração de Números Complexos
Efetue:
a) (-7 + 5i) – (3 – 2i)
b) 2 + (3 – i) + (-1 + 2i) + i
c) (-4 + 3i) + 2i – (-3 – i)
d) -1 – (-2 + i) + (5 – i) – (3 – 7i)


Exercício 14 – Determine os Complexos
Determine os complexos u e v tais que u + v = 2 – 5i e u – 2v = -4 + 13i


Exercício 15 – Resolva no Conjunto dos Números Complexos as Equações
Resolva em C, as equações:
a) x² + 100 = 0
b) x² – 6x + 10 = 0
c) -x² + 4x – 29 = 0
d) (x² + 9) * (x² – 1) = 0


Exercício 16 – Resolva a Equação Considerando o Conjunto Universo
Resolva a equação x³ – 14x² + 58x = 0, considerando o conjunto universo:
a) R
b) C


Exercício 17 – Radiciação de Número Complexo na Forma Algébrica
Determine as raízes quadradas dos complexos:
a) -5 + 12i
b) 4i
c) 4 + 3i
d) 1 – iV3


Exercício 18 – Multiplicação, Soma e Subtração de Números Complexos
Em cada caso, efetua as operações indicadas:
a) (2 + 5i) * (1 – i)
b) (4 + 3i) * (-2 + 2i)
c) (4 + i) * (2 – i) + 3 – i
d) (-5i) * (4 – 3i) * (1 + 2i)
e) (1 + i) * (1 – i)
f) (2 – 3i)²
g) (-3 – 3i)²
h) (2 + i)³


Exercício 19 – Multiplicação e Potenciação de Número Complexo na Forma Algébrica
Dados os complexos z1 = (1/2, 3) e z2 = (2, -5), determine:
a) z1 * z2
b) z²


Exercício 20 – Multiplicação e Potenciação – Forma Algébrica
Efetue:
a) (1 + i) * (1 – i)
b) (1 – i)³
c) (2 + 2i)³


Exercício 21 – Número Real e Número Imaginário Puro
Determine x E R de modo que o número complexo z = (x + 3i) * (1 – 2i) seja:
a) um número real
b) um imaginário puro.


Exercício 22 – Conjugado de Número Complexo
Dados os complexos z1 = –1 – 3i, z2 = 2i e z3 = 1 – i ,determine:
a) z1 + z2
b) z2 . z3
c) z1 + z3
d) z2 . z3


Exercício 23 – Afixo do Complexo
Na figura P é o afixo de z1 e Q é o afixo de z2.
Determine o afixo de:


Exercício 24 – Determine o Complexo Z
Determine z pertencente ao complexos que verifica a igualdade z – z barra = 6i.


Exercício 25 – Determine o Complexo
Determine z pertencente aos complexos de modo que a igualdade a seguir seja verdadeira.


Exercício 26 – Igualdade de Números Complexos
Em cada caso, determine os complexos z que verificam a igualdade:
a) (Z)² = Z²
b) Z² = 2 x Z x i
c) (Z)² = -2i


Exercício 27 – Divisão de Números Complexos
Escreva as seguintes expressões na forma algébrica:


Exercício 28 – Inverso e Conjugado de Número Complexo
Dado o complexo z = 3 – 4i, determine:
a) o inverso de z,
b) o conjugado do inverso de z²
c) o inverso de z * i


Exercício 29 – Divisão de Número Complexo
Se o quociente de 3 + 2i pelo complexo z é igual a 1 – i, determine z.


Exercício 30 – Número Complexo Imaginário Puro
Determine a E R de modo que z = (2 + i)/(3 + ai) seja imaginário puro.


Exercício 31 – Determine m para que o Complexo Seja um Número Real
Se z = (2 + mi) / (1 – i), determine o número real m para que z seja um número real. nesse caso, qual é o valor de z ?


Exercício 32 – Mostre que o Número Complexo é um Número Real
Mostre que (1 + i) / (1 – i) é um número real.


Exercício 33 – Calcule o Módulo de Cada um dos Números Complexos
Calcule o módulo de cada um dos números complexos:
a) z = 2 + i
b) z = 5i
c) z = -4 + 3i
d) z = -4
e) z = -2V3 – 2i
f) z = 1/4 – 1/4i


Exercício 34 – Módulo de um Número Complexo
Entre os números complexos 2 + 3i, 3 – i, 1, -2, 4i e -1/2i, qual possui o maior módulo?


Exercício 35 – Módulo de um Número Complexo
Determine o módulo de cada um dos seguintes números complexos:
a) z = (2 – 3i) * (4 + 6i)
b) z = 3i / (1 + i)
c) z = 2*i
d) z = 2i(-1 + 2i)


Exercício 36 – Módulo de um Número Complexo
São dados os números complexos z1 = x + 3i e z2 = 2 + (x – 1)i, nos quais x é um número real. Determine x para que se tenha |z1| = |z2|.


Exercício 37 – Plano Argand-Gauss e Módulo do Número Complexo
No plano de Argand-Gauss representado ao lado, A e B são as respectivas imagens dos números complexos Z1 e Z2. Determine o módulo de:
a) Z1 + Z2
b) Z1 – Z2


Exercício 38 – Represente Geometricamente no Plano de Argand-Gauss
Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss os seguintes subconjuntos de C:
a) A = {z E C; |z| = 0}
b) B = {z E C; |z| = 10}
c) C = {z E C; |z – z| = 4}
d) D = {z E C; |z| < 4}
e) E = {z E C; |z| = 2}
f) F = {z E C; |z + i| = 2}


Exercício 39 – Argumento Principal do Número Complexo
Determine o argumento principal de cada um dos seguintes números complexos:
a) z = V3 + i
b) z = 4V3 – 4i
c) z = -2 + 2i
d) z = -2 + 2iV3
e) z = -1/2 – 1/2i
f) z = 2i
g) z = -3 – 3iV3
h) z = -6
i) z = V6 – iV2
j) z = -i/4


Exercício 40 – Argumento Principal dos Complexos
A figura apresenta, no plano complexo, um hexágono regular inscrito em uma circunferência cujo raio mede 4. Determine o argumento principal dos complexos z1, z2, z3, z4, z5 e z6, cujas respectivas imagens são os vértices P1, P2, P3, P4, P5 e P6.


Exercício 41 – Conversão da forma Algébrica para Trigonométrica
Escreva os seguintes números complexos na forma trigonométrica.


Exercício 42 – Complexo na Forma Algébrica e Forma Trigonométrica
Dado o número complexo z = (i / 1 + i) + (1 / i) , pede-se:
a) as formas algébricas de z e z²;
b) as formas trigonométricas de z e z².


Exercício 43 – Conversão da forma Trigonométrica para Algébrica
Obtenha a forma algébrica de cada um dos seguintes números complexos.


Exercício 44 – Sistema de Equações com Números Complexos – Forma Polar
Se x e y são números complexos, escreva as soluções dos sistemas seguintes na forma polar.
x + yi = -1 – 2i
2xi + y = 1 + i


Exercício 45 – Argumento do Complexo em Radianos
Sabe-se que a medida do lado do quadrado ABCD é 10. Obtenha a forma polar dos números complexos cujos afixos são os vértices desse quadrado. Expresse as medidas dos respectivos argumentos, em radianos.