PA & PG

Vídeos com resolução de exercícios sobre Progressão Aritmética & Progressão Geométrica.

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Exercício 1 – Seja a sequência definida por an = -3 + 5n, n pertencente ao Naturais. Determine:
a) a2
b) a4
c) a11


Exercício 2 – Escreva os quatro primeiros termos da sequência.


Exercício 3 – Para cada função definida a seguir, represente a sequência associada.


Exercício 4 – O termo geral de uma sequência é an = 143 – 4n, com n E N*.
a) Qual é a soma de seus 3 primeiros termos?
b) Os números 71, 2345 e 2195 pertencem à sequência?
Em caso afirmativo, determine suas posições.


Exercício 5 – Construa a sequência definida pela relação:
a1 = -5
a(n+1) = 2 * an + 3


Exercício 6 – Determine o sexto termo da sequência definida pela lei de recorrência:


Exercício 7 – Seja f: N* em N definida por f(n) = n³ + n² + 1. Ao representar a sequência associada a f, um estudante apresentou a seguinte resolução: (3, 13, x, 81, 151, x, …) Por algum motivo, dois números da sequência acima saíram borrados. Determine-os, reescrevendo a sequência.


Exercício 8 – Os termos gerais de duas sequências (an) e (bn) são, respectivamente, an = -193 + 3n e bn = 220 – 4n, para todo n E N, n menor que 1.
a) Escreva os cinco primeiros termos de (an) e de (bn).
b) Qual é o primeiro termo positivo de (an)? Que posição ele ocupa na sequência?
c) Qual é o primeiro termo negativo de (bn)? Que posição ele ocupa na sequência?
d) As duas sequências apresentam algum termo em comum? Em caso afirmativo, determine-o.


Exercício 9 – Quais das sequências seguintes representam progressões aritméticas.


Exercício 10 – Determine a razão de cada uma das progressões aritméticas seguintes, classificando-as em crescente, decrescente ou constante.


Exercício 11 – Dada a P.A. (28, 36, 44, 52, …), determine seu:
a) oitavo termo;
b) décimo nono termo.


Exercício 12 – Em uma P.A. de razão 9, o 10º termo vale 98.
a) Qual é seu 2º termo?
b) Qual é seu termo geral?


Exercício 13 – Preparando-se para uma competição, um atleta corre sempre 400 metros a mais que a distância percorrida no dia anterior. Sabe-se que no 6º dia ele correu 3,2 km. Qual é a distância percorrida pelo atleta no 2º dia?


Exercício 14 – Faça o que se pede:
a) Escreva a P.A. em que o 4º termo vale 24 e o 9º termo vale 79.
b) Considerando a sequência formada pelos termos de ordem par (2º, 4º, 6º, …) da P.A. do item a, determine seu 20º termo.


Exercício 15 – Escreva a P.A. em que a1 + a3 + a4 = 0 e a6 = 40.


Exercício 16 – Qual é a razão da P.A. dada pelo termo geral an = 310 – 8n?


Exercício 17 – Sabendo que cada sequência a seguir é uma P.A. determine o valor de x.
a) (3x – 5, 3x + 1, 25)
b) (-6 – x, x + 2, 4x)
c) (x + 3, x², 6x + 1)


Exercício 18 – Uma empresa de TV por assinatura planejou sua expansão no biênio 2016-2017 estabelecendo a meta de conseguir, a cada mês, 450 contratos a mais que o número de contratos comercializados no mês anterior. Supondo que isso realmente tenha ocorrido e sabendo que no último bimestre de 2016 o número total de contratos fechados foi de 12 000, determine a quantidade de contratos comercializados em:
a) março de 2016; b) abril de 2017; c) dezembro de 2017.


Exercício 19 – Considere a sequência dos números naturais que, divididos por 7, deixam resto igual a 4.
a) Qual é o termo geral dessa sequência?
b) Qual é o 50º termo dessa sequência?


Exercício 20 – Com relação à P.A. (131, 138, 145, …, 565):
a) obtenha seu termo geral;
b) determine seu número de termos.


Exercício 21 – Quantos números ímpares existem entre 72 e 468?


Exercício 22 – Quantos números inteiros x, com 23 < x < 432, não são múltiplos de 3?


Exercício 23 – A soma da P.A. é 72 e seu Produto é 560. Qual é a P.A.?
A soma de três números que compõem uma P.A. é 72. e o produto dos termos extremos é 560. Qual é a P.A.?
Sugestão: às vezes, é interessante representar 3 termos desconhecidos de uma P.A. por x -r, x, x + r, em que r é a razão da P.A.


Exercício 24 – Determine as medidas dos ângulos internos de um Triângulo
Em um triângulo, a medida do maior ângulo interno é 105°. Determine as medidas de seus ângulos internos, sabendo que elas estão em P.A.


Exercício 25 – Qual é a medida da Hipotenusa?
As medidas dos lados de um triângulo retângulo são numericamente iguais aos termos de uma P.A. de razão 4.
Qual é a medida da hipotenusa?


Exercício 26 – Represente o Conjunto Imagem de f
Seja f: N em N definida por f(x) = -2 + 3x.
a) Represente o conjunto imagem de f
b) Faça a representação gráfica dessa função.


Exercício 27 – Qual é a razão da P.A. com Logaritmo?
Mostre que a sequência (log 80, log 20, log 5) é uma P.A.
Qual é a razão dessa P.A.?


Exercício 28 – Perímetro, Lado e Diagonal de uma Sequência de Quadrados
Dado um quadrado Q1 de lado l = 1cm, considere a sequência de quadrados (Q1, Q2, Q3, …), em que o lado de cada quadrado é 2cm maior que o lado do quadrado anterior. Determine:
a) o perímetro de Q20
b) a área de Q31
c) a diagonal de Q10


Exercício 29 – Intervalo de Mesas em Maratona
Em uma maratona, os organizadores decidiram, devido ao forte calor, colocar mesas de apoio com garrafas de água para os corredores, a cada 800 metros, a partir do quilômetro 5 da prova, onde foi instalada a primeira mesa.
a) Sabendo que a maratona é uma prova com 42,195 km de extensão, determine o número total de mesas de apoio que foram colocadas pela organização da prova.
b) Quantos metros um atleta precisa percorrer da última mesa de apoio até a linha de chegada?
c) Um atleta sentiu-se mal no quilômetro 30 e decidiu abandonar a prova. Ele lembrava que havia pouco tempo que ele cruzara uma mesa de apoio. Qual era a opção mais curta: voltar a essa última mesa ou andar até a próxima?


Exercício 30 – As medidas de Perímetro, Diagonal e Área do Quadrado são uma P.A.?
Os números que expressam as medidas do perímetro, diagonal e a área de um quadrado, nesta ordem, podem ser os termos de uma P.A.? Em caso afirmativo, quanto mede o lado desse quadrado?


Exercício 31 – Copa do Mundo de Futebol e Progressão Aritmética
A Copa do Mundo de Futebol é um evento que ocorre de quatro em quatro anos. A 1a Copa foi realizada em 1930, no Uruguai. De lá para cá, apenas nos anos de 1942 e 1946 a Copa não foi realizada, devido à 2ª Guerra Mundial.
a) A Copa de 2014 foi realizada no Brasil. Qual é a ordem desse evento na sequência de anos em que foi realizada?
b) Considerando que os próximos eventos ocorram seguindo o mesmo padrão e que não existam imprevistos que impeçam a realização desse evento, responda: haverá Copa em 2100? E em 2150?


Exercício 32 – Calcule a soma dos quinze primeiros termos da P.A. (245, 241, 237, 233, …).


Exercício 33 – Calcule a soma dos vinte primeiros termos da P.A. (0,15; 0,40; 0,65; 0,9; …).


Exercício 34 – Para a compra de uma TV pode-se optar por um dos planos seguintes:
• plano alfa: entrada de R$ 400,00 e mais 13 prestações mensais crescentes, sendo a primeira de R$ 35,00, a segunda de R$ 50,00, a terceira de R$ 65,00 e assim por diante;
• plano beta: 15 prestações mensais iguais de R$ 130,00 cada uma.
a) Em qual dos planos o desembolso total é maior?
b) Qual deveria ser o valor da entrada do plano alfa para que, mantidas as demais condições, os desembolsos totais fossem iguais?


Exercício 35 – Suponha que, em certo mês (com 30 dias), o número de queixas diárias registradas em um órgão de defesa do consumidor aumente segundo uma P.A. Sabendo que nos dez primeiros dias houve 245 reclamações, e nos dez dias seguintes houve mais 745 reclamações, represente a sequência do número de queixas naquele mês.


Exercício 36 – A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é dada por Sn = 18n – 3n², sendo n pertencente a N*. Determine:
a) o 1º termo da P.A.
b) a razão da P.A.
c) o 10º termo da P.A.


Exercício 37 – Uma criança organizou suas 1378 figurinhas, colocando 3 na primeira fileira, 7 na segunda fileira, 11 na terceira fileira, 15 na quarta e assim por diante, até esgotá-las. Quantas fileiras a criança conseguiu formar?


Exercício 38 – Utilizando-se um fio de comprimento L é possível construir uma sequência de 16 quadrados em que a medida do lado de cada quadrado, a partir do segundo, é 2 cm maior que a medida do lado do quadrado anterior. Sabendo que para a construção do sétimo quadrado são necessários 68 cm, determine o valor de L.


Exercício 39 – No esquema seguinte, os números naturais não nulos aparecem dispostos em blocos de três linhas e três colunas.
a) Em que linha e coluna encontra-se o elemento 787? A qual bloco ele pertence?
b) Determine o elemento que está na 3a linha e 1a coluna do bloco B 100.
c) Determine o elemento que está na 2ª linha e 3ª coluna do bloco B 500.
d) Qual é a soma de todos os elementos que se encontram na 2a linha e 2a coluna dos 500 primeiros blocos?
e) Qual é a soma de todos os elementos escritos nos 200 primeiros blocos?


Exercício 40 – P.A. e Função Afim
Seja f:N* – R a função cujo gráfico está abaixo representado.
a) determine a lei de f.
b) Qual é a progressão aritmética associada à função f? Obtenha seu termo geral.


Exercício 41 – Identifique as sequências que representam progressões geométricas.


Exercício 42 – Calcule a razão de cada uma das seguintes progressões geométricas.


Exercício 43 – Qual é o 8º termo da P.G. (-1, 4, -16, 64, …)?


Exercício 44 – Qual é o 6º termo da P.G. (-240, -120, -60, …)?


Exercício 45 – Em uma P.G. crescente, o 3º termo vale -80, e o 7º termo, -5. Qual é seu 1º termo?


Exercício 46 – O número de consultas a um site de comércio eletrônico aumenta semanalmente (desde a data em que o portal ficou acessível), segundo uma P.G. de razão 3. Sabendo que na 6ª semana foram registradas 1458 visitas, determine o número de visitas ao site registrado na 3ª semana.


Exercício 47 – Em uma colônia de bactérias, o número de elementos dobra a cada hora. Sabendo que, na 5ª hora de observação, o número de bactérias era igual a 419, determine:
a) o número de bactérias na colônia na 1ª hora de observação;
b) o número de bactérias esperado para a 10ª hora de observação.


Exercício 48 – Em uma reunião de condomínio, os moradores analisaram os valores das taxas mensais de obras cobradas em alguns meses de 2016: março: R$ 120,00, abril: R$ 144,00, maio: R$ 172,80, junho: R$ 207,36. Um dos moradores percebeu que havia uma regularidade nesses valores.
a) Classifique a sequência de valores cobrados, determinando sua razão.
b) Sabe-se que o padrão na cobrança teve início em janeiro de 2016 e se estendeu até janeiro de 2017. Determine a diferença entre os valores cobrados em janeiro desses 2 anos, arredondando, em todos os cálculos para valores inteiros.


Exercício 49 – Determine o Valor de x na P. G.
Em cada item a seguir, a sequência é uma P.G.
Determine o valor de x:
a) (4, x, 9)
b) (x² – 4, 2x + 4, 6)
c) (-2, x = 1, -4x + 2)
d) (1/2, log x, 8)


Exercício 50 – As idades da senhora Beatriz, de sua filha e de sua neta formam, nessa ordem, uma P.G. de razão 2/3. Determine as três idades, sabendo que a neta tem cinquenta anos a menos que a avó.


Exercício 51 – Sequência de uma P.G.
Subtraindo-se um mesmo número de cada um dos termos da sequência (2, 5, 6), ela se transforma em uma P.G.


Exercício 52 – Valor das Parcelas de uma Dívida
Uma dívida deverá ser paga em sete parcelas, de modo que elas constituam termos de uma P.G. Sabe-se que os valores da 3ª e 6ª parcelas são, respectivamente, R$ 144,00 e R$ 486,00. Determine:
a) o valor da 1ª parcela;
b) o valor da última parcela.


Exercício 53 – Quantidade de Termos de uma P.G.
Para cada P.G. seguinte, encontre o número de termos:


Exercício 54 – P.G. com Lado, Perímetro e Área de um Quadrado
Os números que expressam as medidas do lado, o perímetro e a área de um quadrado podem estar, nessa ordem, em P.G.? Em caso afirmativo, qual deve ser a medida do lado do quadrado?


Exercício 55 – 1º Termo de uma P.G.
Em uma P.G. de 3 termos positivos, o produto dos termos extremos vale 625, e a soma dos dois últimos termos é igual a 30.
Qual é o 1º termo?


Exercício 56 – Produto dos Três Termos de uma P.G.
Escreva três números em P.G. cujo produto seja 216 e a soma dos dois primeiros termos seja 9.


Exercício 57 – Progressão Aritmética e Progressão Geométrica
A sequência (13, 4x + 1, 21) é uma P.A. e a sequência (x/8, y, 32) é uma P.G. Quais são os valores de x e y?


Exercício 58 – Termos de uma P.A. e uma P.G. ao mesmo tempo
A sequência (8, 2, a, b, …) é uma P.G. e a sequência (b, 3/16, c, … é uma P.A.
a) Qual é o valor de c?
b) O número a pertence à P.A.? Em caso afirmativo, qual é a sua posição nessa sequência?


Exercício 59 – Razão da Progressão Aritmética e da Progressão Geométrica
Sejam f e g duas funções definidas de N* em N* dadas pelos termos gerais an = 3n + 4 e bn = 2an, respectivamente. Verifique se f é uma P.A. e g é uma P.G., e, em caso afirmativo, determine suas respectivas razões.


Exercício 60 – Progressão Aritmética Crescente e Razão da Progressão Geométrica
Em uma P.A. crescente, cujo primeiro termo vale 2, o 2°, o 5° e o 14° termos formam, nessa ordem, uma P.G. Obtenha a razão dessa P.G.


Exercício 61 – Sequência que é P.A. e P.G. ao Mesmo Tempo
Qual é a condição sobre os números reais a, b e c de modo que a sequência (a, b, c) seja, simultaneamente, uma P.A. e uma P.G.?


Exercício 62 – Soma dos Termos de uma P.G.
Calcule a soma dos seis primeiros termos da P.G. (22, 4, 28, …).


Exercício 63 – Soma dos Termos de uma P.G.
Calcule a soma dos oito primeiros termos da P.G. (320, 160, 80, …).


Exercício 64 – Soma de Termos de uma P.G. – Total de Livros Vendidos
A tabela seguinte informa a projeção do número de livros vendidos em uma livraria nos primeiros anos de atividade:
Se for mantido esse padrão, qual será o total de livros vendidos nessa livraria nos seus dez primeiros anos de atividade?


Exercício 65 – Soma dos Termos de uma P.G. – Financiamento de Moto
No financiamento de uma moto, ficou combinado que o proprietário faria o pagamento em vinte prestações mensais que formam uma P.G. de razão 1,02. Sabendo que o valor da quarta prestação era de R$ 318,00, determine o valor pago pela moto.


Exercício 66 – Soma dos Termos de uma P.G. Finita
Seja a sequência definida pelo termo geral an = 3n / 6, n E N*
a) Calcule a soma de seus primeiros termos.
b) Quantos termos devemos somar na sequência, a partir do primeiro, a fim de obter soma igual a 14762?


Exercício 67 – Soma dos Perímetros de uma Sequência de Triângulos
Na sequência abaixo, todos os triângulos são equiláteros e o perímetro de determinado triângulo, a partir do 2°, é 5/4 do perímetro do triângulo anterior: Sabendo que o lado do 2° triângulo mede 1 m, determine:
a) a medida do perímetro do 1° triângulo;
b) a medida do lado do 4° triângulo;
c) o número inteiro mínimo de metros necessários para a construção da sequência acima. Considere 1,25 = 4,8.


Exercício 68 – Soma dos Termos de uma P.G.
Certo dia, em uma pequena cidade, 5 pessoas ficam sabendo que um casal do colégio começou a namorar. No dia seguinte, cada uma delas contou essa notícia para outras duas pessoas. Cada uma dessas pessoas repassou, no dia seguinte, essa notícia para outras duas pessoas e assim sucessivamente. Passados oito dias, quantas pessoas já estarão sabendo da notícia? Admita que ninguém fique sabendo da notícia por mais de uma pessoa.


Exercício 69 – Determine o valor da soma das P.G. Infinitas
Determine o valor de:
a) 20 + 10 + 5 + 2,5 + …
b) 90 + 9 + 9/10 + 9/100 + …
c) 10 + 10 + 10 + …


Exercício 70 – Soma dos Termos de uma P.G. Infinita
Seja a sequência dada pelo termo geral an = 9 / 2 . 3n, em que n E N.
Qual é o valor de a2 + a4 + a6 + a8 + ….


Exercício 71 – Fração Geratriz das Dízimas Periódicas
Encontre a fração geratriz de cada uma das seguintes dízimas periódicas:
a) 0,444…
b) 1,777…
c) 0,27
d) 2,36


Exercício 72 – Soma dos Perímetros e Soma de Áreas de Quadrados
Considere uma sequência infinita de quadrados em que, a partir de Q2, a medida do lado de cada quadrado é a décima parte da medida do lado do quadrado anterior. Sabendo que o lado de Q1 mede 10 cm, determine:
a) a soma dos perímetros de todos os quadrados da sequência;
b) a soma das áreas de todos os quadrados da sequência.


Exercício 73 – Resolva, em R, as Seguintes Equações
Resolva, em R, as seguintes equações:
a) x² + x³/2 + x/4 + …. = 1/3
b) (1 + x) + (1 + x)² + (1 + x)³ + … = 3
c) x + x² /4 + x³ / 16 + … = 4/3


Exercício 74 – Soma de Perímetros de Triângulos
Seja um triângulo equilátero de lado 12 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se outro triângulo equilátero no centro da figura. Unindo-se os pontos médios dos lados desse último triângulo, constrói-se outro triângulo no centro da figura, e assim indefinidamente.
a) Qual é a soma dos perímetros de todos os triângulos assim construídos?
b) Qual é a soma das áreas de todos os triângulos assim construídos?


Exercício 75 – Distância Percorrida por uma Bola – P.G. Infinita
Uma bola é atirada ao chão de uma altura de 200 cm. Ao atingir o solo pela primeira vez, ela sobe até uma altura de 100 cm, cai e atinge o solo pela segunda vez, subindo até uma altura de 50 cm, e assim por diante subindo sempre metade da altura anterior, até perder energia e cessar o movimento. Quantos metros a bola percorre ao todo?


Exercício 76 – P.G. e Função Exponencial
Seja f: N* em R uma função definida por f(x) = 4 . (0,5)x.
a) Represente o conjunto imagem de f.
b) Esboce o gráfico de f.


Exercício 77 – Progressão Geométrica Associada a Função
O gráfico abaixo representa a função f, de domínio N*, definida por y = 1/6 . 3, sendo k uma constante real.
a) Determine o valor de k.
b) Qual é a progressão geométrica associada à função f? Obtenha seu termo geral e sua razão.


ENEM 2019 – Questão 159 – Após o Fórum Nacional Contra a Pirataria (FNCP) incluir a linha de autopeças em campanha veiculada contra a falsificação, as agências fiscalizadoras divulgaram que os cinco principais produtos de autopeças falsificadas são:


ENEM 2018 – Questão 159 – A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes de iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural.