Polinômios

Introdução a Polinômios
Introdução a Polinômios, coeficiente dominante, função polinomial

Exercício 1 – Indique os itens cujas expressões representam polinômios:

Exercício 2 – Grau de um polinômio.

Exercício 3 – Identifique o coeficiente dominante de cada um dos polinômios seguintes:

Exercício 4 – Determine m pertencente ao Reais de modo que o polinômio p(x) = (m² – 2)x + 6x³ – 4x + 2 tenha grau 4.

Exercício 5 –Para que valores reais de k a expressão polinomial (2k² – 8)x³ – 2x² + 5x – 1 tem grau 2?

Exercício 6 –Discuta, em função do parâmetro real m, o grau de p(x).

Exercício 7 – Responda: é possível que o grau do polinômio p(x) = (m² – 4)x5 + (m + 2)x4 – 3x + 1 seja: a) 5? b) 4? c) 3? Em caso afirmativo, dê, para cada item, as condições em que isso ocorre.

Exercício 8 – Determinando coeficientes para polinômio nulo.

Exercício 9 – Determinando valores dos coeficientes para polinômio nulo.

Exercício 10 – Valor Numérico de Polinômio
Determinando valor numérico de um polinômio.

Exercício 11 – Raiz de um polinômio
Determinando a raiz de um polinômio.

Exercício 12 – Raiz de um polinômio
Determine m pertencente aos reais a fim de que -1 seja raiz do polinômio x² – 4x + (m +4).

Exercício 13 – Determine a e b reais em p(x) = ax³ – 2x² + bx – 1, sabendo que 1 é raiz de p(x) e que p(2) = 3.

Exercício 14 – Determine o polinômio p de grau 1, tal que p(2) = 5 e p(-1) = 2.

Exercício 18 – Calcule os valores de a e b reais de modo que seja satisfeita a igualdade (a + 3)x + (b – 1) = 2x – 3.

Exercício 19 – Resolução do exercício de igualdade de Polinômios.

Adição, Subtração e Multiplicação
Vídeo explicativo de soma, subtração e multiplicação de polinômios.

Exercício 23 – Dadas as expressões polinomiais f(x) = 2x² – 3x + 4, g(x) = x³ – x + 1 e h(x) = –x² + x – 4, determine: a) f(x) + g(x) b) g(x) – h(x) c) f(x) – g(x) – h(x) d) f(x) * h(x) e) x * f(x) + 2 * g(x)

Exercício 24 – Sejam p1(x) = ax² + bx + c e p2(x) = bx² + 4x – 3. Sabendo que p1(x) + p2(x) é o polinômio nulo, determine os valores de a, b e c.

Exercício 25 – Sejam os polinômios f(x)=3x + 2i e g(x)= ix e i a unidade imaginária em I. Obtenha os polinômios: a) f(x) – g(x) b) i * g(x) + f(x) c) g(x) * f(x)

Exercício 26 – Determine os valores das constantes reais a e b que satisfazem:
(ax + 5)² + (b – 2x)² = 13x² + 42x + 34

Exercício 27 – Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de grau 4. O que se pode afirmar em relação ao grau do polinômio: a) f(x) * g(x)? b) f(x) + g(x)? c) f(x) – g(x)? d) x2 * f(x) + x * g(x)?

Exercício 28 – Os polinômios f(x), g(x) e h(x) têm graus 2, 3 e 5, respectivamente. Classifique como verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmações seguintes: a) f(x) + g(x) + h(x) é um polinômio de grau 5.
b) f(x) – g(x) pode ter grau 2.
c) f(x) * g(x) + h(x) pode ser polinômio nulo.
d) f(x) * g(x) + h(x) pode ter grau 3.

Divisão de Polinômios – Conceitos
Conceituação da divisão de dois polinômios.

Exercício 29 – Determine o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão de f(x) por g(x) em cada caso:
a) f(x) = 3x² + 5x + 7 e g(x) = 3x – 1
b) f(x) = −x³ + 4x² − 5x + 1 e g(x) = x² – 1

Exercício 30 –Verifique, em cada caso, se o polinômio f(x) é divisível por g(x), exibindo o quociente dessa divisão:

Exercício 31 – Determine m pertencente ao Reais, a fim de que x² + 2mx – 5 seja divisível por x – 1.

Exercício 32 – Dividindo o polinômio f(x) = x³ + x² + x + 1 por g(x), obtemos o quociente q(x) = 1 + x e o resto r(x) = x + 1. Determine g(x).

Exercício 33 – Dividindo-se um polinômio de grau 7 por um de grau 3, obtêm-se um polinômio quociente (q) e um polinômio resto (r). O que se pode afirmar em relação ao grau de q? E ao grau de r?

Exercício 38 – Aplicando o teorema do resto, determine o resto da divisão de f(x) por g(x) em cada caso:

Exercício 39 – Em cada caso, p(x) é divisível por q(x). Obtenha o valor real de m: a) p(x) = −3×2 + 4x + m e q(x) = x – 2 b) p(x) = 4×3 − 5×2 + mx + 3 e q(x) = x + 3 c) p(x) = x5 − 3×4 + 2×2 + mx − 1 e q(x) = x – 1

Exercício 40 –Determinando o resto da divisão de f(x) por g(x) aplicando o teorema do resto.

Exercício 41 – Sabendo que o polinômio 2x² + mx + n, com {m, n} contido em R, é divisível por x – 1 e que, quando dividido por x + 2, deixa resto igual a 6, determine m e n.

Exercício 42 – Um polinômio p(x), dividido por x + 2, dá resto 3 e, dividido por x – 5, dá resto -2. Qual é o resto da divisão de p(x) por x² − 3x − 10?

Exercício 43 – Um polinômio p(x) é tal que p(1) = 4. O quociente da divisão de p(x) por (x – 1) é dividido por (x – 2) e obtém-se resto 3. Determine o resto da divisão de p(x) por (x – 1) . (x – 2).

Exercício 44 – Em cada caso, obtenha o quociente e o resto da divisão de f(x) por g(x), utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini:

Exercício 45 –Dividindo-se x³ − 2x² + mx + 4 (com m E R) por x + 2, obtém-se o quociente x² − 4x + 5. Qual é o resto dessa divisão?

Exercício 46 – O polinômio f(x) = 4x – 5x² + 2x + m é divisível por x – 2. a) Qual é o valor de m? b) Qual é o quociente e o resto da divisão de f(x) por x + 3?