Polinômios

Introdução a Polinômios
Introdução a Polinômios, coeficiente dominante, função polinomial

Exercício 1 – Indique os itens cujas expressões representam polinômios:

Exercício 2 – Grau de um polinômio.

Exercício 3 – Identifique o coeficiente dominante de cada um dos polinômios seguintes:

Exercício 4 – Determine m pertencente ao Reais de modo que o polinômio p(x) = (m² – 2)x + 6x³ – 4x + 2 tenha grau 4.

Exercício 5 –Para que valores reais de k a expressão polinomial (2k² – 8)x³ – 2x² + 5x – 1 tem grau 2?

Exercício 6 –Discuta, em função do parâmetro real m, o grau de p(x).

Exercício 7 – Responda: é possível que o grau do polinômio p(x) = (m² – 4)x5 + (m + 2)x4 – 3x + 1 seja: a) 5? b) 4? c) 3? Em caso afirmativo, dê, para cada item, as condições em que isso ocorre.

Exercício 8 – Determinando coeficientes para polinômio nulo.

Exercício 9 – Determinando valores dos coeficientes para polinômio nulo.

Exercício 10 – Sendo p(x) = x² – 5x + 3, obtenha o valor numérico de p para:
a) x = 0
b) x = 1
c) x = 2
d) x = 1 + i
e) x = i
f) x = 3/2

Exercício 11 – Verifique quais dos números complexos i, 1, 3, 1 + 2i e 0 são raízes de p(x) = x³ – 5x² + 11x – 15.

Exercício 12 – Raiz de um polinômio
Determine m pertencente aos reais a fim de que -1 seja raiz do polinômio x² – 4x + (m + 4).

Exercício 13 – Determine a e b reais em p(x) = ax³ – 2x² + bx – 1, sabendo que 1 é raiz de p(x) e que p(2) = 3.

Exercício 14 – Determinando polinômio de grau 1
Determine o polinômio p de grau 1, tal que p(2) = 5 e p(-1) = 2.

Exercício 15 – Constante Complexa e Valor Numérico do Polinômio
O número i é raiz do polinômio p(x) = x² + 3x + k, em que k é uma constante complexa. Determine:
a) k ;
b) p(2 + i), usando o item a.

Exercício 16 – Raiz do Polinômio e Soma dos Coeficientes do Polinômio
Seja o polinômio: p(x) = x + 2x² + 3x³ + … + 49x + 50x
a) Verifique se 0 é raiz de p(x).
b) Determine a soma dos coeficientes de p(x).

Exercício 17 – Polinômio do Segundo Grau com Raiz Complexa
Obtenha o polinômio do 2º grau que tem 2i como uma de suas raízes e cuja soma dos coeficientes é igual a 5.

Exercício 18 – Igualdade de polinômios
Calcule os valores de a e b reais de modo que seja satisfeita a igualdade (a + 3)x + (b – 1) = 2x – 3.

Exercício 19 – Igualdade de Polinômios
Para que valores de m, n e p, com {m, n, p} c C, ocorre a igualdade mx² + (2n + 3)x – p = 5x + i?

Exercício 20 – Determine os Valores Reais
Determine m e n reais de modo que:

Exercício 21 – Obtenha os Valores das Constantes Reais
Obtenha os valores das constantes reais a e b para que se tenha:

Exercício 22 – Determine os Coeficientes Reais
Seja o polinômio do 1º grau p(x) = ax + b, em que a e b são coeficientes reais tais que: Qual é o valor de p(i) + p(-i)?

Adição, Subtração e Multiplicação
Vídeo explicativo de soma, subtração e multiplicação de polinômios.

Exercício 23 – Operações com Polinômios
Dadas as expressões polinomiais f(x) = 2x² – 3x + 4, g(x) = x³ – x + 1 e h(x) = –x² + x – 4, determine:
a) f(x) + g(x)
b) g(x) – h(x)
c) f(x) – g(x) – h(x)
d) f(x) * h(x)
e) x * f(x) + 2 * g(x)

Exercício 24 – Soma de Polinômios
Sejam p1(x) = ax² + bx + c e p2(x) = bx² + 4x – 3. Sabendo que p1(x) + p2(x) é o polinômio nulo, determine os valores de a, b e c.

Exercício 25 – Sejam os polinômios f(x)=3x + 2i e g(x)= ix e i a unidade imaginária em I. Obtenha os polinômios: a) f(x) – g(x) b) i * g(x) + f(x) c) g(x) * f(x)

Exercício 26 – Determine os valores das constantes reais a e b que satisfazem:
(ax + 5)² + (b – 2x)² = 13x² + 42x + 34

Exercício 27 – Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de grau 4. O que se pode afirmar em relação ao grau do polinômio: a) f(x) * g(x)? b) f(x) + g(x)? c) f(x) – g(x)? d) x2 * f(x) + x * g(x)?

Exercício 28 – Os polinômios f(x), g(x) e h(x) têm graus 2, 3 e 5, respectivamente. Classifique como verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmações seguintes: a) f(x) + g(x) + h(x) é um polinômio de grau 5.
b) f(x) – g(x) pode ter grau 2.
c) f(x) * g(x) + h(x) pode ser polinômio nulo.
d) f(x) * g(x) + h(x) pode ter grau 3.

Divisão de Polinômios – Conceitos
Conceituação da divisão de dois polinômios.

Exercício 29 – Determine o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão de f(x) por g(x) em cada caso:
a) f(x) = 3x² + 5x + 7 e g(x) = 3x – 1
b) f(x) = −x³ + 4x² − 5x + 1 e g(x) = x² – 1

Exercício 30 –Verifique, em cada caso, se o polinômio f(x) é divisível por g(x), exibindo o quociente dessa divisão:

Exercício 31 – Determine m pertencente ao Reais, a fim de que x² + 2mx – 5 seja divisível por x – 1.

Exercício 32 – Dividindo o polinômio f(x) = x³ + x² + x + 1 por g(x), obtemos o quociente q(x) = 1 + x e o resto r(x) = x + 1. Determine g(x).

Exercício 33 – Dividindo-se um polinômio de grau 7 por um de grau 3, obtêm-se um polinômio quociente (q) e um polinômio resto (r). O que se pode afirmar em relação ao grau de q? E ao grau de r?

Exercício 34 – Determine as Constantes Reais
Determine m e n reais, de modo que o polinômio −2x³ + mx² + n seja divisível por x² + x + 1.

Exercício 35 – Largura do Retângulo
Em um retângulo, o comprimento é expresso por x + 2, e sua área é expressa por 3x² + 5x − 2. Como se expressa a largura desse retângulo?

Exercício 36 – Determine a Altura, Diagonal e Área do Paralelepípedo
Observe as dimensões do paralelepípedo seguinte: Sabe-se que o volume desse paralelepípedo é expresso por 2x³ + x² − 8x − 4.
a) Expresse, em função de x, a medida da altura do paralelepípedo.
b) Existe algum polinômio que represente a medida da diagonal desse sólido? Determine-o, em caso afirmativo.
c) Existe algum polinômio que represente a área total desse sólido? Determine-o, em caso afirmativo.

Exercício 37 – Determine o Polinômio f(x)
Dividindo um polinômio f(x) pelo polinômio x² + x + 1, obtemos o quociente q(x) = x² – x e o resto r(x) = -x + 13. Determine f(x).

Exercício 38 – Teorema do Resto
Aplicando o teorema do resto, determine o resto da divisão de f(x) por g(x) em cada caso:
a) f(x) = 3x² – x + 4 e g(x) = x – 2
b) f(x) = −x³ + 4x² − 5x + 1 e g(x) = x + 2

Exercício 39 – Teorema de D`Alembert
Em cada caso, p(x) é divisível por q(x). Obtenha o valor real de m:
a) p(x) = −3×2 + 4x + m e q(x) = x – 2
b) p(x) = 4×3 − 5×2 + mx + 3 e q(x) = x + 3
c) p(x) = x5 − 3×4 + 2×2 + mx − 1 e q(x) = x – 1

Exercício 40 –Determinando o resto da divisão de f(x) por g(x) aplicando o teorema do resto.

Exercício 41 – Sabendo que o polinômio 2x² + mx + n, com {m, n} contido em R, é divisível por x – 1 e que, quando dividido por x + 2, deixa resto igual a 6, determine m e n.

Exercício 42 – Um polinômio p(x), dividido por x + 2, dá resto 3 e, dividido por x – 5, dá resto -2. Qual é o resto da divisão de p(x) por x² − 3x − 10?

Exercício 43 – Um polinômio p(x) é tal que p(1) = 4. O quociente da divisão de p(x) por (x – 1) é dividido por (x – 2) e obtém-se resto 3. Determine o resto da divisão de p(x) por (x – 1) . (x – 2).

Exercício 44 – Em cada caso, obtenha o quociente e o resto da divisão de f(x) por g(x), utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini:

Exercício 45 –Dividindo-se x³ − 2x² + mx + 4 (com m E R) por x + 2, obtém-se o quociente x² − 4x + 5. Qual é o resto dessa divisão?

Exercício 46 – Dispositivo Briot-Ruffini
O polinômio f(x) = 4x – 5x² + 2x + m é divisível por x – 2.
a) Qual é o valor de m?
b) Qual é o quociente e o resto da divisão de f(x) por x + 3?

Exercício 47 – Quociente e Resto da Divisão
Qual é o quociente e o resto da divisão de (x + 1)² por x + 1?

Exercício 48 – Determine o Valor de m + n
O polinômio f(x) = 2x³ + mx + n, em que {m, n} E R, é divisível por x + 1; dividindo f(x) por x + 1/2, obtemos resto igual a 2. Determine o valor de m + n.

Exercício 49 – Determine o Valor da Constante Real k
Determine o valor da constante real k a fim de que a divisão de 2x³ − 3x² + x + 6k por x – 3 seja exata.

Exercício 1 – Escreva o Polinômio em sua Forma Fatorada
Encontre as raízes de cada polinômio abaixo e, em seguida, escreva-o em sua forma fatorada:
a) x² – 6x + 25
b) 2x² – 5x + 2
c) 2x³ – 4x

Exercício 2 – Represente o Polinômio em Fatores do 1º Grau
Represente o polinômio x³ – 4x² – 11x + 30 em fatores do 1º grau, sabendo que suas raízes são 5, -3 e 2.

Exercício 3 – Fatore o Polinômio
Sabendo que 2 + i, 2 – i e -3 são as raízes da equação x³ – x² -7x + 15 = 0 fatore o polinômio dado em outros dois polinômios com coeficientes reais, um com grau 2 e outro com grau 1.

Exercício 4 – Escreva uma Equação do 2º Grau cujas Raízes
Escreva uma equação do 2º grau cujas raízes sejam:
a) 1 – 2i e 1 + 2i
b) -3 e 5
c) 0 e -1/2

Exercício 5 – Escreva uma Equação do 3º Grau
Escreva uma equação do 3º grau cujas raízes sejam:
a) 3 – i, 3 + i e -2
b) 0, 2 e -5

Exercício 6 – Resolva em C a Equação de Terceiro Grau
Resolva, em C, a equação x³ + 3x² – 46x + 72 = 0, sabendo que 2 é uma de suas raízes.