Principio Fundamental da Contagem

Introdução

Muitas situações em Matemática utilizam regras precisas, como por exemplo, equações e funções. Porém, em muitas outras situações existem incertezas. Como podemos modelar essas situações? Existem padrões matemáticos nessas situações? Existe confiabilidade nesses padrões? O conceito de probabilidade ajuda a responder essas questões.

Utilizando como exemplo a jogada de um dado onde se espera como resultado a face igual a 3. Obviamente é impossível prever qual face será mostrada. Porém, a ideia principal é se o dado for jogado uma infinidade de vezes, a face 3 será mostrada em um sexto de vezes da quantidade de jogadas. Isso acontece porque a chance de sair cada uma das seis faces (1, 2, 3, 4, 5 e 6) são igualmente prováveis. Logo, devemos dizer que a probabilidade de sair a face 3 é igual a um sexto (1/6).

Outro exemplo utilizando um baralho de 52 cartas. Ao retirar uma carta do baralho, quais são as chances de sair um ás? Considerando que cada carta tem igual chance de sair e sabendo que um baralho tem quatro ases, a probabilidade de se tirar um ás é 4/52.

Exemplos como os citados aparecem em muitas situações do dia-a-dia. Por exemplo, uma organização social deve escolher cinco pessoas, entre seus cinquenta integrantes, para compor uma comissão. A escolha será feita de forma aleatória. Quais são as chances da comissão ser composta somente por mulheres?

Atualmente, probabilidade é uma ferramenta indispensável para tomada de decisão em negócios, indústria e pesquisas científicas. Por exemplo, para determinar a efetividade de novos remédios e pesquisas eleitorais.

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Definição

Suponha que entre as cidades de Aracaju, Brasília e Cuiabá existam dois modos (avião e ônibus) de uma pessoa viajar de Aracaju para Brasília, e três modos (avião, ônibus e carro) para viajar de Brasília para Cuiabá. De quantos modos distintos é possível utilizar os meios de transporte disponíveis para sair de Aracaju e chegar a Cuiabá passando por Brasília?

A resposta para essa pergunta é dividir o problema em partes menores. Na primeira parte, de Aracaju para Brasília existem duas escolhas (avião e ônibus) e na segunda parte, de Brasília para Cuiabá existem três escolhas ( avião, ônibus e carro). Logo, o número de rotas distintas é 2 . 3 = 6.
A Figura 1 mostra a situação descrita acima.

Figura 1

Desse modo, podemos enunciar o Princípio Fundamental da Contagem (PFC).

Se dois eventos ocorrem em sequência, e o primeiro evento pode ocorrer de m modos distintos e o segundo evento pode ocorrer de n modos distintos. Então, os dois eventos pode ocorrer em sequência de m . n modos distintos.

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Exemplo

Uma lanchonete oferece três tipos de sanduíche e oito tipos de sucos. De quantos modos distintos é possível comprar um lanche composto por um sanduíche e um suco?
Solução: Existem dois passos para se escolher o lanche. No primeiro passo, três escolhas de sanduíche. No segundo passo, oito escolhas de suco. Podemos pensar os passos como espaço a serem preenchidos conforme mostra a Figura 2.

Figura 2

Portanto, no primeiro espaço preenchemos com o número 3 e o segundo espaço preenchemos com 8. Multiplicamos 3 por 8, o resultado será 24, conforme Figura 3.

Figura 3
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Exercício Resolvidos de PFC

Para ir à praia, Sílvia pretende colocar um maiô e uma canga. Sabendo que ela possui cinco maiôs diferentes e três modelos diferentes de canga, determine o número de maneiras distintas de Sílvia se vestir.

Solução em Vídeo

Um restaurante oferece almoço a R$ 40,00, incluindo: entrada, prato principal e sobremesa. De quantas formas distintas um cliente pode fazer seu pedido, se existem quatro opções de entrada, três de prato principal e duas de sobremesa?

Solução em Vídeo

Em um teste vocacional, um jovem deve responder a doze questões, assinalando, em cada uma, uma única alternativa, escolhida entre “sim”, “não” e “às vezes”.
De quantas formas distintas o teste poderá ser respondido?

Solução em Vídeo

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Responda:
a) Quantos números de cinco algarismos existem?
b) Quantos números ímpares de cinco algarismos existem?
c) Quantos números de cinco algarismos são maiores que 71265?
d) Quantos números de cinco algarismos distintos começam por 7?

Solução em Vídeo

Considerando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8, responda:
a) Quantos números de quatro algarismos podemos formar?
b) Quantos números pares de quatro algarismos podemos formar?
c) Em relação ao total do item a, qual é a porcentagem correspondente aos números que têm todos os algarismos distintos?

Solução em Vídeo

Responda:
a) Uma moeda é lançada duas vezes sucessivamente. Quantas sequências de faces podem ser obtidas? Quais são elas?
b) Quantas sequências de faces poderiam ser obtidas, caso a moeda fosse lançada quatro vezes sucessivamente? E cinco vezes? E dez vezes?
c) Uma moeda foi lançada n vezes sucessivamente. Sabendo que o número de sequências de faces que poderiam ter sido obtidas é 419, qual é o valor de n?

Solução em Vídeo

Para acessar os serviços de um portal de vendas pela internet, o usuário deve cadastrar uma senha formada por quatro algarismos distintos. O sistema, entretanto, não aceita as senhas que contenham um ou mais algarismos correspondentes ao ano de nascimento do cliente. Determine o número de senhas que podem ser cadastradas por alguém que nasceu em:
a) 1966
b) 1954
c) 1999

Solução em Vídeo

As placas de veículos atuais são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos. Considerando o alfabeto com 26 letras, quantas placas distintas podem ser fabricadas de modo que:
a) os algarismos sejam distintos?
b) as letras e os algarismos sejam distintos?
c) só algarismos pares distintos e vogais apareçam?
d) não apareça a letra J nem um algarismo maior que 6?
e) só apareçam algarismos ímpares e em ordem crescente?

Solução em Vídeo

Quantos números de três algarismos distintos podemos formar usando:
a) apenas os algarismos 1, 2 e 3?
b) apenas os algarismos ímpares?
c) apenas os algarismos pares?
d) algarismos pares e ímpares intercalados?

Solução em Vídeo

Dispondo dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, determine:
a) a quantidade de números pares de três algarismos que podemos formar;
b) a quantidade de números pares de três algarismos distintos que podemos formar;
c) a quantidade de números divisíveis por 5, formados por 4 algarismos distintos.

Solução em Vídeo

Em uma festa, há 32 rapazes e 40 moças; 80% do número de moças e 3/8 do número de rapazes sabem dançar. Quantos pares podem ser formados por um rapaz e uma moça de modo que:
a) ninguém saiba dançar?
b) apenas uma pessoa do par saiba dançar?

Solução em Vídeo

(OBMEP) Manuela quer pintar as quatro paredes de seu quarto usando as cores azul, rosa, verde e branco, cada parede de uma cor diferente. Ela não quer que as paredes azul e rosa fiquem de frente uma para a outra. De quantas maneiras diferentes ela pode pintar seu quarto?

Solução em Vídeo

Em uma empresa, os estagiários passam, obrigatoriamente e uma única vez, pelos seguintes setores: RH, Financeiro, comercial e marketing.
a) Quantas ordens distintas são possíveis para o estagiário passar pelos quatro setores?
b) Se um estagiário iniciar o trabalho no setor comercial, de quantas formas distintas poderá completar seu treinamento?

Solução em Vídeo

Leia a tira do Recruta Zero, de Mort Walker.
Suponha que cada um dos cinco soldados tenha exatamente uma carta para enviar a um dos três “destinos” destacados. De quantos modos distintos esses soldados podem distribuir as cartas nesses “destinos”?

Solução em Vídeo

Para ir ao trabalho, uma secretária procura sempre combinar blusa, saia e sapatos. Como ela não gosta de repetir as combinações, fez um levantamento nos armários e verificou que são possíveis 420 combinações diferentes. Se ela possui dez blusas, quantas saias e quantos pares de sapatos ela pode ter, sabendo que, para cada item, há mais de uma peça?

Solução em Vídeo

(OBMEP) Patrícia escreveu, em ordem crescente, os inteiros positivos formados apenas por algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 31, 33, …. Qual foi o 157º número que ela escreveu?
a) 997
b) 999
c) 1111
d) 1113
e) 1115

Solução em Vídeo

José e a família, que moram em Brasília, pretendem viajar nas férias de janeiro para Buenos Aires. Consultando um agente de viagem, José recebeu a informação de que só há voos para Buenos Aires com conexão em São Paulo, Rio de Janeiro ou Curitiba e obteve a malha de voos ao lado para a data solicitada. De quantas maneiras diferentes ele poderá escolher o voo de ida:
a) podendo usar companhias aéreas distintas?
b) usando a mesma companhia aérea?

Solução em vídeo

Um estudante está procurando as soluções inteiras da equação 2x = a + b, na incógnita x.
De quantas maneiras distintas o estudante poderá escolher a e b para obter soluções inteiras?

Solução em vídeo