Progressão Aritmética
Uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante, denominada razão, é classificada como uma Progressão Aritmética ou simplesmente P. A.
Classificação
De acordo com a razão, classifica-se as progressões aritméticas em:
- Crescente: quando cada termo é maior que o termo anterior. Ou seja, quando a razão é maior que zero.
- Decrescente: quando cada termo é menor que o termo anterior. Ou seja, quando a razão é menor que zero.
- Constante: quando todos os termos da P. A. são iguais. Ou seja, quando a razão é igual a zero.
Termo Geral da Progressão Aritmética
O meio mais simples de produzir uma sequência é iniciar com um número qualquer que denominamos com a. Depois adicionar ao primeiro termo a uma constante r. A seguir, para cada termo que for adicionado a sequência adicionar a constante r.
Dessa forma, uma progressão aritmética é da seguinte forma:
a, a + r, a + 2r, a + 3r, a + 4r, …
Onde: a é o primeiro termo da P.A. e r é a razão da P.A.
Logo, é possível determinar o valor numérico de qualquer termo de uma progressão aritmética utilizando o termo geral.
an = a1 + (n – 1) * r
Exemplo
Encontre os primeiros seis termos da progressão aritmética e seu centésimo termo.
13, 7, …
Solução: Como o primeiro termo da sequência é 13, temos que a1 = 13. A razão é determinada pelo diferença entre o segundo termo 7 e o primeiro termo 13. Logo, 7 – 13 = – 6. então r = – 6.
O seis primeiros termos são: 13, 7, 1, -5, -11, -17, …
O centésimo termo aplica-se o termo geral. Ou seja, an = 13 + (n – 1) * (- 6)
a100 = 13 + (100 – 1) * (- 6)
a100 = 13 + (99) * (- 6)
a100 = 13 + (- 594)
a100 = – 581
Exercícios Resolvidos
1 – Quais das sequências seguintes podem representar progressões aritméticas?
a) (21, 25, 29, 33, 37, …)
b) (0, -7, 7, -14, 14, …)
c) (-8, 0, 8, 16, 24, 32, …)
2 – Determine a razão de cada uma das progressões aritméticas seguintes, classificando-as em crescente, decrescente ou constante
a) (38, 35, 32, 29, 26, …)
b) (-40, -34, -28, -22, -16, …)
c) (1/7, 1/7, 1/7, 1/7, …)
d) (90, 80, 70, 60, 50, …)
3 – Dada a P.A. (28, 36, 44, 52, …), determine seu:
a) oitavo termo;
b) décimo nono termo
4 – Em uma P.A. de razão 9, o 10º termo vale 98.
a) Qual é seu 2º termo?
b) Qual é seu termo geral?
5 – Preparando-se para uma competição, um atleta corre sempre 400 metros a mais que a distância percorrida no dia anterior. Sabe-se que no 6º dia ele correu 3,2 km.
Qual é a distância percorrida pelo atleta no 2º dia?