EM13MAT310
A habilidade EM13MAT310 da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), no contexto da Matemática do Ensino Médio, contempla o desenvolvimento da capacidade de resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, utilizando os princípios multiplicativo e aditivo, além de diferentes estratégias de representação, como o diagrama de árvore. Essa habilidade está inserida no campo da Análise Combinatória e desempenha papel fundamental na consolidação do raciocínio lógico, da organização do pensamento e da capacidade de generalização.
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Resolver problemas de contagem significa determinar o número de possibilidades existentes em determinada situação, sem necessariamente listar todos os casos um a um. Trata-se de uma competência essencial quando se lida com conjuntos grandes, nos quais a contagem direta se torna inviável. Ao trabalhar com agrupamentos ordenáveis — como senhas, códigos ou classificações em pódios — o estudante precisa considerar que a ordem dos elementos altera o resultado final. Já nos agrupamentos não ordenáveis — como a formação de comissões ou equipes — a ordem não interfere, e o foco está apenas na escolha dos elementos.
O princípio multiplicativo, também conhecido como Princípio Fundamental da Contagem, estabelece que, quando um processo ocorre em etapas sucessivas e independentes, o número total de possibilidades é obtido pelo produto das quantidades de opções em cada etapa. Por exemplo, se uma pessoa pode escolher entre 3 camisetas e 2 calças, o total de combinações possíveis de vestuário é 3 × 2 = 6. Embora simples em sua formulação, esse princípio constitui a base de raciocínios mais complexos envolvendo arranjos, permutações e combinações.
Já o princípio aditivo é aplicado quando as possibilidades se apresentam de forma alternativa e excludente. Se um estudante pode escolher entre fazer um curso de teatro ou um curso de música, e há 4 opções de teatro e 3 de música, então existem 4 + 3 = 7 possibilidades distintas de escolha. A compreensão da diferença entre situações que exigem multiplicação e aquelas que exigem adição é crucial para evitar erros conceituais e desenvolver segurança na resolução de problemas.
A habilidade proposta pela BNCC vai além da aplicação mecânica de fórmulas. Ela incentiva o uso de estratégias variadas, como o diagrama de árvore, tabelas organizadoras, esquemas gráficos e listagens sistemáticas. O diagrama de árvore, em especial, é um recurso visual poderoso para representar decisões sucessivas. Ao desenhar ramificações que indicam cada escolha possível em cada etapa, o estudante consegue visualizar a estrutura do problema, identificar padrões e compreender de forma concreta o funcionamento do princípio multiplicativo.
Além disso, a elaboração de problemas é parte essencial dessa habilidade. Criar situações-problema exige compreensão profunda dos conceitos envolvidos, pois o estudante precisa estruturar o contexto, definir as condições e prever as possíveis soluções. Essa prática fortalece a autonomia intelectual e estimula a criatividade matemática, transformando o aluno em protagonista do processo de aprendizagem.
A Análise Combinatória possui inúmeras aplicações no cotidiano e em diferentes áreas do conhecimento. Em tecnologia da informação, por exemplo, o cálculo do número de senhas possíveis está diretamente ligado a princípios de contagem. Em genética, a combinação de características hereditárias pode ser analisada por meio de raciocínios combinatórios. Em estatística e probabilidade, a contagem correta dos casos possíveis é etapa fundamental para o cálculo de chances e previsões. Dessa forma, a habilidade EM13MAT310 contribui para uma formação ampla e interdisciplinar.
Atividades para a habilidade EM13MAT310
(EM13MAT310) Considere os anagramas formados pelas letras da palavra CONQUISTA.
a) Quantos são os anagramas possíveis?
b) Quantos deles começam por vogal?
c) Quantos deles começam e terminam por consoante?
d) Quantos deles têm as letras C, O, N, juntas e nessa ordem?
e) Quantos deles apresentam a letra C antes da letra A?
f) Quantos deles apresentam as letras C, O, N, juntas, mas não necessariamente nessa ordem e o mesmo ocorrendo com as letras Q, U, I, S e com as letras T, A?
(EM13MAT310) Dispondo dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, determine no caderno:
a) a quantidade de números pares de 3 algarismos que podemos formar;
b) a quantidade de números pares de 3 algarismos distintos que podemos formar;
c) a quantidade de números divisíveis por 5, formados por 4 algarismos distintos.
(EM13MAT310) Permutando-se as letras T, R, A, P, O, S, são formados 720 anagramas. Esses anagramas são colocados em ordem alfabética.
a) Determine a posição do primeiro anagrama que começa com a letra R.
b) Qual é a posição correspondente ao anagrama PRATOS?
c) Que anagrama ocupa a 500ª posição?
(EM13MAT310) Em quantos anagramas formados pelas letras da palavra QUEIJO as vogais não aparecem todas juntas?
(EM13MAT310) Um dado foi lançado 4 vezes sucessivamente e as faces obtidas foram 2, 3, 5 e 6, não necessariamente nessa ordem. De quantas maneiras distintas pode ter ocorrido a sequência de resultados?
(ENEM – 2025) Um pai comprou oito presentes diferentes (dentre os quais, uma bicicleta e um celular) para dar a seus três filhos. Ele pretende distribuir os presentes de modo que o filho mais velho e o mais novo recebam três presentes cada um, e o do meio receba os dois presentes restantes. O mais velho ganhará, entre seus presentes, ou uma bicicleta ou um celular, mas não ambos. De quantas maneiras distintas a distribuição dos presentes pode ser feita?
(A) 36
(B) 53
(C) 300
(D) 360
(E) 560
(ENEM – 2024) Um hospital tem 7 médicos cardiologistas e 6 médicos neurologistas em seu quadro de funcionários. Para executar determinada atividade, a direção desse hospital formará uma equipe com 5 médicos, sendo, pelo menos, 3 cardiologistas. A expressão numérica que representa o número máximo de maneiras distintas de formar essa equipe é
(ENEM – 2021) Uma pessoa produzirá uma fantasia utilizando como materiais: 2 tipos de tecidos diferentes e 5 tipos distintos de pedras ornamentais. Essa pessoa tem à sua disposição 6 tecidos diferentes e 15 pedras ornamentais distintas. A quantidade de fantasias com materiais diferentes que podem ser produzidas é representada pela expressão
(ENEM – 2020) Nos livros Harry Porter, um anagrama do nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”. Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras. Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por
(ENEM – 2020) Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio.
(ENEM – 2020) Um hotel de 3 andares está sendo construído. Cada andar terá 100 quartos. Os quartos serão numerados de 100 a 399 e cada terá seu número afixado na porta. Cada número será composto por peças individuais, cada uma simbolizando um único algarismo. Qual a quantidade mínima de peças, simbolizando o número 2, necessárias para identificar o número de todos os quartos?
(ENEM – 2020) Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura. De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por
(ENEM – 2017) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito. As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções.