Ponto
Plano Cartesiano
Exercício 1 – Plano Cartesiano
Situe no mesmo sistema de eixos cartesianos os pontos A(1, 3), B(-2, 1), C(0, -4)
Exercício 2 – Coordenadas dos Pontos no Plano Cartesiano
Forneça as coordenadas dos pontos dados no plano cartesiano abaixo:
Exercício 3 – Indique o Quadrante a qual o Ponto Pertence
Dados os seguintes pontos: Indique quais pertencem:
a) ao 1º quadrante.
b) ao 2º quadrante.
c) ao 3º quadrante.
d) ao 4º quadrante.
e) ao eixo x
f) ao eixo y
g) à bissetriz dos quadrantes impares
h) à bissetriz dos quadrantes pares
Exercício 4 – Sinal do Produto das Coordenadas de um Ponto
Determine o sinal do produto das coordenadas de um ponto:
a) do 1º quadrante
b) da bissetriz
c) do 3º quadrante
d) do eixo das ordenadas
Exercício 5 – Valor de k – Eixo das Ordenadas
Determine os valores reais de k para os quais o ponto P(k² – 9, 5) pertence ao eixo das ordenadas.
Exercício 6 – Determine o Quadrante de Cada Ponto
Sendo a um número real positivo e b um número real negativo, determine em que quadrante se encontra cada um destes pontos:
Exercício 7 – Coordenadas dos Pontos
Na figura a seguir as duas circunferências têm centro na origem. Sabendo que a abscissa de A é igual a 3, determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H.
Exercício 8 – Valores de m para o Ponto Pertencer ao 3º Quadrante
Para quais valores reais de m o ponto P(m, 2m – 1) pertence ao 3º quadrante?
Exercício 9 – Determine m e n em Reta Paralela ao Eixo das Abscissas
Os pontos A(3, 5), B(2, m) e C(-4, n) pertencem a uma reta paralela ao eixo das abscissas. Determine m e n.
Exercício 10 – Reta Paralela ao Eixo Y
Os pontos (3, -2), (a, 5) e (b, 100) pertencem a uma reta paralela ao eixo y. Determine a e b.
Exercício 11 – Coordenadas dos Vértices do Trapézio Isósceles
Determine as coordenadas dos vértices A, B, C e D do trapézio isósceles abaixo:
Exercício 12 – Triângulo Retângulo
Os vértices de um triângulo são os pontos A(-4, 5), B(-4, 0) e C(1, 5). Mostre que esse triângulo é retângulo.
Que segmento representa a hipotenusa desse triângulo?
Exercício 13 – Vértices de um Quadrado
Na figura, ABCD é um quadrado cujo lado mede 6. Obtenha as coordenadas dos quatro vértices do quadrado.
Distância entre dois pontos
Exercício 14 – Distância entre Dois Pontos
Determine a distância entre os pontos dados:
a) A(5, 2) e B(1, 3)
b) C(-1, 4) e D(-2, -3)
c) E(-4, -3) e 0(0, 0)
d) F(-5, 4) e G(2, -5)
e) H(-1, 5) e I(-1, 12)
f) J(-2, -1) e K(3, -4)
g) L(-4, 3) e M(-4, -7)
h) N(V2, -V2) e P(-V2, V2)
i) Q(1, 3) e R(-3, 3)
Exercício 15 – Perímetro do Triângulo
Calcule o perímetro do triângulo ABC, sendo A(1, 0) , B(3, 7) e C(-2, 4)
Exercício 16 – Distância entre Dois Pontos
O ponto B tem ordenada nula e dista 5 de A, que possui ambas as coordenadas iguais a 4. Determine a abscissa de B.
Exercício 17 – Ponto Distante
Entre os pontos A (1/2, 1) , B (1, 3/2), C(2, 1) e D(0, 2), qual é o mais distante de E(1, 1)?
Exercício 18 – Os Pontos Pertencem ao 2º Quadrante. Qual o valor de m?
Os pontos A(3m + 1, 15) e B(m, 3) pertencem ao 2º quadrante, e a distância entre eles é igual a 13. Qual é o valor de m?
Exercício 19 – Perímetro do Quadrilátero ABCD
Determine o perímetro do quadrilátero ABCD.
Exercício 20 – Medida do Diâmetro da Circunferência
O centro de uma circunferência é o ponto (-1, 3). Sabendo que o ponto (2, 5) pertence à circunferência, determine a medida de seu diâmetro.
Exercício 21 – Calcule o Perímetro do Triângulo
Mostre que o triângulo de vértices (2, 4), (5, 1) e (6, 5) é isósceles e calcule seu perímetro.
Exercício 22 – Pontos Equidistantes
Os pontos A e B são equidistantes de Q, pertencente à bissetriz dos quadrantes ímpares. Sendo A(4, 2) e B(6, 8), quais são as coordenadas de Q?
Exercício 23 – Determine as Coordenadas do Ponto P
O ponto P pertence ao eixo dos y e equidista de A(-1, 1) e B(4, 2). Determine as coordenadas de P.
Exercício 24 – Classifique, Quanto aos Lados, o Triângulo
Classifique, quanto aos lados, o triângulo cujos vértices são (0, 0), (3, 2) e (-1, 4)
Exercício 25 – Obtenha as coordenadas de P
Na figura, P é equidistante de A(1, -1) e B(2, 3). Obtenha as coordenadas de P.
Exercício 26 – Determine o Valor de m
Com base na figura seguinte, determine m.
Exercício 27 – Triângulo Equilátero
Dados os pontos M(2, 0) e N(0, 2), determine P de modo que o triângulo MNP seja equilátero.
Exercício 28 – Pontos Equidistantes
Encontre três pontos equidistantes de A(-2, 4) e B(3, 1).
Ponto Médio de um Segmento
Exercício 29 – Ponto Médio do Segmento
Determine as coordenadas do ponto médio do segmento cujas extremidades são os pontos:
a) A(1, 2) e B(2, 4)
b) C(3, 5) e D(2, -3)
c) E(-1, -1/2) e F(-3, 3/2)
d) G(-3, 5) e H(3, -5)
e) I(4, 10) e J(10, -4)
f) L(3, -4) e M(3, 2)
Exercício 30 – Ponto Médio do Segmento
Se (2, 3) é ponto médio de AB, com A(n, 5) e B(4, m), quanto vale m + n?
Exercício 31 – Mediana do Triângulo
Os pontos A(2, 24), B(22, 1) e C(24, 5) são vértices de um triângulo. Determine o comprimento da mediana AM do triângulo ABC.
Exercício 32 – Ponto Médio do Diâmetro da Circunferência
O ponto (7, -3) pertence a uma circunferência de centro (4, 2). Determine o ponto diametralmente oposto a P.
Exercício 33 – Mostre que o Quadrilátero é um Paralelogramo
Mostre que o quadrilátero de vértices (-8, -6), (-2, 0), (-2, -4) e (4, 2) é um paralelogramo.
Exercício 34 – Extremidades de Segmento
Um segmento possui uma extremidade sobre o eixo das abscissas e a outra sobre o eixo das ordenadas. Sendo (-1, 2) seu ponto médio, determine as coordenadas de suas extremidades.
Exercício 35 – Baricentro e Medianas de um Triângulo
Um triângulo possui vértices nos pontos (2, -1), (4, -3) e (-2, -5). Determine:
a) as coordenadas de seu baricentro;
b) os comprimentos das medianas desse triângulo.
Exercício 36 – Coordenadas dos Vértices do Triângulo
M(1, 2), N(5, -2) e P(3, -4) são respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC, e AC do triângulo ABC.
Determine as coordenadas dos vértices desse triângulo.
Exercício 37 – Coordenadas do Vértice do Quadrado
Os pontos (2, 3), (5, -1) e (1, -4) são vértices de um quadrado.
a) Quais são as coordenadas do quarto vértice?
b) Qual é a medida do lado desse quadrado?
Exercício 38 – Pontos Simétricos
Qual é o ponto simétrico de P(2, -3) em relação:
a) ao eixo das ordenadas?
b) à origem do sistema cartesiano?
c) ao eixo das abscissas?
d) ao ponto (3, -4)
Exercício 39 – Mediana e Baricentro do Triângulo
Na figura a seguir, o triângulo de vértices A(6, 0), O(0, 0) e B é retângulo, e sua hipotenusa mede 8. Determine:
a) as coordenadas de B;
b) a medida da mediana relativa à hipotenusa;
c) o baricentro do triângulo e sua distância à origem.
Exercício 40 – Divisão de Segmento em Quatro Partes Iguais
Dados A(-13, -1) e B(3, 5), determine as coordenadas dos pontos que dividem AB em quatro partes iguais.
Exercício 41 – Vértice e Área do Losango
Um losango possui como vértices os pontos (2, -4), (4, 4) e (-6, -2).
Sendo (-1, 1) o ponto de encontro das diagonais, determine o quarto vértice e a área do losango.
Exercício 42 – Coordenadas do Ponto C
Na figura, o triângulo ABC é equilátero, e seu lado mede 4 cm. Determine:
a) as coordenadas de C;
b) a área do triângulo ABC.
Exercício 43 – Determine as Coordenadas do Ponto A do Triângulo ABC
A respeito de um triângulo ABC, sabe-se que:
M (1, -3/2)
dab = 9
dac = 12
C (1, 6)
Determine as coordenadas de A, sabendo que elas são números reais negativos.
Condição de alinhamento de três pontos
Exercício 44 – Verifique se os Pontos estão Alinhados
Verifique se estes pontos estão alinhados.
a) (2, 1), (7, -7/3) e (3, 1/3)
b) (0, 4), (4, 0) e (2, -2)
c) (1, 5), (-3, 2) e (-7, 1)
d) (6, 12), (-5, -8/3) e (0, 4)
e) (-2, 3), (0, 0) e (6, -9)
f) (-2, 3), (0, 0) e (-3, 2)
Exercício 45 – Para que valor de m os pontos são colineares?
Para que valor de m os pontos (3, 1), (m, 2) e (0, -2) são colineares?
Exercício 46 – Pontos Colineares
Ache um ponto que esteja alinhado com P(3, 5) e Q(-1, -3).
Exercício 47 – Pontos Pertencem a Mesma Reta?
Os pontos (-3, -17), (1, 3), (6, 28) e (0, -2) pertencem à mesma reta? Verifique analiticamente.
Exercício 48 – Alinhamento de Pontos
Dados os pontos A(0, -3), B(3, 3) e C(-2, -7), calcule as distâncias entre eles e, com base apenas nesses dados, verifique se A, B e C estão alinhados.
Exercício 49 – Determine o Valor de k
Para que valores de k os pontos (2, -3), (4, 3) e (5, k/2) são vértices de um triângulo?
Exercício 50 – Ponto de Interseção com Eixo x
Dados os pontos A(4, -15) e B(-4, 5), determine:
a) a relação entre xp e yp, a fim de que P(xp, yp) esteja alinhado com A e B.
b) o ponto em que a reta AB intersecta o eixo x.
Exercício 51 – Verifique se os Pontos estão Alinhados
Na figura, tg a = 2/3 e a abscissa de P é igual a 6. Verifique, em cada caso, se O, P e Q estão alinhados.
a) Q(-18, -10)
b) Q(900, 600)
Exercício 52 – Ponto de Interseção de Dois Segmentos
Observe a figura abaixo e determine o ponto comum aos segmentos AB e CD.
Exercício 53 – Ordenada do Ponto M
Na figura, M, N e P estão alinhados. Qual é a ordenada de M?
Exercício 54 – Ponto de Encontro das Diagonais
Na figura, ABCD é um retângulo cujos lados medem a e b, e A é a origem do sistema de coordenadas cartesianas.
a) Escreva as coordenadas dos pontos A, B, C e D
b) Obtenha o ponto de encontro das diagonais do retângulo.
c) Prove que um ponto P(x, y) qualquer está alinhado com A e C.
Exercício 55 – Caminho mais Rápido
Em um jogo de computador, idealizado na tela por um plano cartesiano, o herói encontra-se no ponto (-3, 2) e precisa salvar a princesa no castelo, representado pelo ponto (2, 5), do outro lado de um estreito rio, de trajetória retilínea, representado pelo eixo das ordenadas. O objetivo do jogo é fazer esse caminho o mais rápido possível. Nessas condições, em que ponto do plano ele deverá cruzar o rio a fim de minimizar o tempo de viagem?
Admita que a velocidade do herói seja igual para qualquer movimento.